Riemann Integration

Prerequisites: Intuition for Variable, Uniform Big-O Like Notations, Differentiation

리만 적분의 개요

함수 $f$의 그래프 아래, 구간 $[x,y]$ 위의 (부호 있는) 넓이 $A(x,y)$를 구하고자 한다고 해 보자. 직관적으로 넓이는 다음을 만족해야 한다.

• $a\le x\le y\le z\le b$ 이면 $A(x,z)=A(x,y)+A(y,z)$ (가법성)

그래프는 곡선이므로 구간을 세밀하게 분할하여 넓이를 직사각형으로 근사하는 방법을 생각해 보자. $[a,b]$의 분할 $P:a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$에 대해 $h_i=x_{i+1}-x_i$, $\Vert P\Vert ={\max }_i{h}_i$ 라고 하자. 각 소구간 $[x_i,x_{i+1}]$에서 대표점 $t_i$를 골라 높이가 $f(t_i)$인 직사각형을 생각하자. 이러한 직사각형의 넓이는 각각 $f(t_i)h_i$이다. 그런데 직사각형의 넓이와 실제 넓이 사이에는 오차가 존재할 것이다. 이를 다음과 같이 정의하자.

$$e_i=A(x_i,x_{i+1})-f(t_i)h_i$$

가법성에 의해 실제 넓이는 직사각형 넓이의 합과 오차의 합으로 정확히 나뉜다.

$$A(a,b)=\sum _{i=0}^{n-1}f(t_i)h_i+\sum _{i=0}^{n-1}{e}_i$$

첫 번째 합을 리만 합 $S(P,t)$, 두 번째 합을 오차합이라고 하자. 넓이를 직사각형으로 근사하는 것이 가능하려면 $\Vert P\Vert \to 0$ 일 때 오차합이 $0$으로 수렴해야 하고, 이는 리만 합이 $A(a,b)$로 수렴하는 것과 같다. 따라서 리만 합의 극한이 존재하는 것을 적분가능성의 정의로, 그 극한을 넓이의 정의로 삼는다.

정의. 리만 적분
어떤 $L$에 대해 다음이 성립하면 $f$가 $[a,b]$에서 리만 적분가능하다고 한다.

$$\underset{\Vert P\Vert \to 0}{\lim }S(P,t)=L$$

여기서 극한은 분할과 대표점을 어떻게 고르든 $\Vert P\Vert$가 충분히 작으면 $S(P,t)$가 $L$에 가까워진다는 뜻이다. 이때 $L$을 다음과 같이 적는다.

$${\int }_a^{b}f={\int }_a^{b}f(x)dx$$

$\int$는 합(summa)의 S를 늘인 기호이고, $f(x)dx$는 직사각형의 넓이 $f(t_i)h_i$에 해당한다. $x$는 식 안에서만 의미를 갖는 변수이므로 ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(t)dt$ 이다. 또 ${\int }_b^{a}f=-{\int }_a^{b}f$ 로 약속한다.

정리. $[a,b]$에서 연속인 함수는 리만 적분가능하다.
증명. 참고문헌 (1)을 보라.

균등오차의 합

앞선 논의에서 오차의 합 ${\sum }_i{e}_i$가 $0$으로 수렴할 때 적분이 가능하다고 했다. 이것이 가능한 한 가지 경우는 각 오차가 균등하게 $0$으로 수렴하는 경우이다.

정리. 균등오차의 합
$[a,b]$의 분할 $P$에 대해, $e(x,y)\in o_{x,y\in [a,b]}(y-x)$ 이면 다음이 성립한다.

$$\underset{\Vert P\Vert \to 0}{\lim }\sum _{i=0}^{n-1}e(x_i,x_{i+1})=0$$

증명. $ϵ>0$에 대해 다음을 만족하는 $\delta >0$가 존재한다.

$$x,y\in [a,b],0<|x-y|<\delta \to |e(x,y)|\le ϵ|y-x|$$

따라서 $\Vert P\Vert <\delta$ 이면 다음과 같다.

$$|\sum _{i=0}^{n-1}e(x_i,x_{i+1})|\le ϵ\sum _{i=0}^{n-1}{h}_i=ϵ(b-a)$$

$■$

예시. 오차가 균등하게 수렴하지 않으면 오차의 합이 $0$으로 수렴하지 않을 수 있다. $[0,1]$에서 $0<x<y-x$ 이면 $e(x,y)=1$, 그렇지 않으면 $e(x,y)=0$ 이라고 하자. 각 $x$에 대해 $e(x,y)\in o_{y\to x}(y-x)$ 이다. 그러나 분할 $x_0=0,x_1=\frac{1}{2n},x_i=\frac{i}{n}$ ($2\le i\le n$)에 대해 $\Vert P\Vert \to 0$ 이지만 합은 항상 $1$ 이다.

예시. 균등성은 충분조건이지 필요조건은 아니다. $[0,1]$에서 $x\ge \frac{1}{2}$ 이면 $f(x)=1$, 그렇지 않으면 $f(x)=0$ 이라고 하자. $\frac{1}{2}$을 포함하는 소구간에서는 직사각형 근사의 오차가 $h_i$와 같은 크기이므로 균등하게 $o(h_i)$가 아니다. 그러나 그런 소구간은 많아야 두 개이므로 오차합은 $0$으로 수렴한다.

따름정리. 적분에서의 균등오차의 소거
$[a,b]$의 분할 $P$와 함수 $q(x,y)$, $[a,b]$에서 연속인 함수 $g$에 대해 다음이 성립한다고 하자.

$$q(x,y)=g(x)(y-x)+\underset{x,y\in [a,b]}{o}(y-x)$$

그러면 다음이 성립한다.

$$\underset{\Vert P\Vert \to 0}{\lim }\sum _{i=0}^{n-1}q(x_i,x_{i+1})={\int }_a^{b}g$$

특히 $Q$가 가법성을 만족하고 $Q(x,y)=g(x)(y-x)+o_{x,y\in [a,b]}(y-x)$ 이면 $Q(a,b)={\int }_a^{b}g$ 이다.

증명. $\sum q(x_i,x_{i+1})$는 왼쪽 끝점을 대표점으로 한 리만 합과 균등한 오차항의 합으로 나뉜다. 앞의 것은 ${\int }_a^{b}g$로, 뒤의 것은 $0$으로 수렴한다. $Q$가 가법성을 만족하면 $\sum Q(x_i,x_{i+1})=Q(a,b)$ 이다. $■$

즉 작은 조각의 양을 $g(x)(y-x)$로 근사했을 때 그 오차가 균등하게 $o(y-x)$이면, 오차를 버리고 적분할 수 있다. 오차가 $O(y-x)$에 그치면 버릴 수 없다. 아래의 미적분학의 기본정리와 Applications of Riemann Integration의 길이, 부피, 겉넓이는 모두 이 따름정리의 응용이다.

미적분학의 기본정리

Differentiation의 일차근사에 의해 $F(y)-F(x)=F^{\prime }(x)(y-x)+o_{y\to x}(y-x)$ 이다. 즉 $F$의 증분은 높이가 $F^{\prime }(x)$인 직사각형의 넓이로 근사된다. 또 $Q(x,y)=F(y)-F(x)$는 가법성을 만족한다. 따라서 이 근사의 오차가 균등하면, $F$의 증분은 $F^{\prime }$의 그래프 아래 넓이처럼 행동한다.

정의. 균등미분가능성
구간 $I$에서 다음이 성립할 때 $F$가 $I$에서 균등미분가능하다고 한다.

$$F(y)=F(x)+f(x)(y-x)+\underset{x,y\in I}{o}(y-x)$$

보조정리. 닫힌 구간에서 $F$가 균등미분가능한 것은 $F$가 $C^1$인 것과 같다.

증명. $F$가 $C^1$이면 평균값 정리에 의해 $x$와 $y$ 사이의 $\xi$가 존재하여 다음이 성립하고, 하이네-칸토어 정리(Uniform Big-O Like Notations)에 의해 $F^{\prime }(\xi )-F^{\prime }(x)\in o_{x,y\in [a,b]}(1)$ 이다.

$$F(y)-F(x)-F^{\prime }(x)(y-x)=(F^{\prime }(\xi )-F^{\prime }(x))(y-x)$$

역으로 $F$가 균등미분가능하면, 정의의 식과 $x,y$를 바꾼 식을 더하여 다음을 얻는다.

$$(f(y)-f(x))(y-x)\in \underset{x,y\in I}{o}(y-x)$$

따라서 $f(y)-f(x)\in o_{x,y\in I}(1)$ 이다. $■$

예시. $F(x)=x^2\sin \frac{1}{x}$, $F(0)=0$은 $[-1,1]$에서 미분가능하지만 $F^{\prime }$이 $0$에서 연속이 아니므로 균등미분가능하지 않다.

정리. 미적분학의 기본정리 1
$F$가 $[a,b]$에서 $C^1$이면 다음이 성립한다.

$${\int }_a^b{F}^{\prime }=F(b)-F(a)$$

증명. 보조정리에 의해 $F(y)-F(x)=F^{\prime }(x)(y-x)+o_{x,y\in [a,b]}(y-x)$ 이고, $F(y)-F(x)$는 가법성을 만족한다. 적분에서의 균등오차의 소거에 의해 결론이 성립한다. $■$

정리. 미적분학의 기본정리 2
$f$가 $[a,b]$에서 연속이고 $F(x)={\int }_a^{x}f$ 이면 다음이 성립한다.

$$F(y)=F(x)+f(x)(y-x)+\underset{x,y\in [a,b]}{o}(y-x)$$

증명. $F(y)-F(x)-f(x)(y-x)={\int }_x^y(f(t)-f(x))dt$ 이고, $|t-x|\le |y-x|$ 이므로 하이네-칸토어 정리에 의해 피적분함수는 $o_{x,y\in [a,b]}(1)$ 이다. $■$

기본정리 2는 리만 적분의 개요에서 넓이에 기대했던 성질, 즉 $A(x,y)=f(x)(y-x)+o(y-x)$가 연속함수의 적분에 대해 실제로 균등하게 성립한다는 것을 말해준다.

참고. 라이프니츠 표기법
$y=F(x)$에 대해 $dx=\Delta x$로 두고 미분소를 $dy=F^{\prime }(x)dx$로 정의하면 $dy$는 $\Delta y$에서 오차항을 버린 일차 부분으로 이해할 수 있다.

$$\Delta y=dy+\underset{\Delta x\to 0}{o}(\Delta x)$$

$\Delta y$의 합은 $F(b)-F(a)$이고, $F$가 $C^1$이면 $dy$와의 차이는 균등한 오차이므로 적분에서 소거된다. 이것이 다음 식의 의미이다.

$${\int }_a^{b}dy=F(b)-F(a)$$

$dy$를 $dx$에 대한 선형함수로 보는 관점은 미분형식(differential form)으로 이어진다(참고문헌 (2)).

참고문헌

(1) Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis
(2) David Bachman, A Geometric Approach to Differential Forms