Uniform Big-O Like Notations

Prerequisites: Big-O Like Notations

Big-O Like Notations의 표기는 한 함수가 한 점 근처에서 어떻게 행동하는지를 나타낸다. 식이 다른 변수(매개변수)에도 의존하면 정의의 $\delta$와 $C$는 매개변수마다 달라질 수 있다. 이들을 매개변수와 무관하게 잡을 수 있을 때 균등하다고 한다.

Uniform Big-O Like Notation

정의. Uniform Big-O Like Notation
집합 $P$와 함수 $f(p,s),g(p,s)$에 대해 다음과 같이 정의한다.

$$f\in o_{P,L}(g)⟺ϵ>0\to \exists \delta >0,(p\in P,s\in N_{\delta }(L)\to |f(p,s)|\le ϵ|g(p,s)|)$$ $$f\in O_{P,L}(g)⟺\exists C>0,\exists \delta >0,(p\in P,s\in N_{\delta }(L)\to |f(p,s)|\le C|g(p,s)|)$$

${\Omega }_{P,L},{\Theta }_{P,L}$도 같은 방식으로 정의한다. $f$가 정의된 $(p,s)$만 생각하고, $L=0$이면 $L$을 생략하여 $o_P$와 같이 적는다. $P$는 ${\mathbb{R}}^n$의 부분집합처럼 임의의 집합일 수 있고, $s\in {\mathbb{R}}^n$이면 근방은 노름으로 정의한다.

각 $p$를 고정하여 $f(p,\cdot )\in o_L(g(p,\cdot ))$ 인 것과 비교하면 양화사의 순서만 다르다. 각 $p$에서의 경우는 $p$가 주어진 뒤 $\delta$를 고르므로 $\delta$가 $p$에 의존할 수 있지만, 균등한 경우는 $\delta$를 고른 뒤 $p$가 주어지므로 $\delta$가 $p$에 의존할 수 없다.

정의. 변수를 사용한 Uniform Big-O Like Notation
$p,s$에 대한 식 $f(p,s),g(p,s)$에 대해 다음과 같이 정의한다.

$$f(p,s)\in \underset{p\in P,s\to L}{o}(g(p,s))⟺f\in o_{P,L}(g)$$

한 줄로 적을 때는 $o_{p\in P,s\to L}(g(p,s))$와 같이 쓴다. $O,\Omega ,\Theta$도 같다. 식 안에서 쓰는 경우도 Big-O Like Notations와 같이 해석한다.

예시. $x(t+s)=xt+xs$ 이고 $x\in [0,1]$ 이면 $|xs|\le |s|$ 이므로 다음이 성립한다.

$$x(t+s)=xt+\underset{x\in [0,1],s\to 0}{o}(1)$$

반면 $x\in \mathbb{R}$ 이면 $|xs|$를 $x$와 무관하게 작게 만들 수 없으므로 균등하지 않다.

두 점 표기

집합 안의 두 점이 위치와 무관하게 가까워지는 경우는 자주 쓰이므로 따로 표기한다.

정의. 두 점 표기
$I\subset {\mathbb{R}}^n$와 $x,y\in I$에 대한 식 $f(x,y),g(x,y)$에 대해 다음과 같이 정의한다.

$$f(x,y)\in \underset{x,y\in I}{o}(g(x,y))⟺f(x,x+s)\in \underset{x\in I,s\to 0}{o}(g(x,x+s))$$

여기서 $x+s\in I$인 $s$만 생각한다. $O,\Omega ,\Theta$도 같다.

이 정의는 거리 $\Vert y-x\Vert$가 작은 모든 쌍 $x,y\in I$에 대한 조건이므로 $x,y$는 대칭이다. 즉 $f(x,y)\in o_{x,y\in I}(g(x,y))$ 이면 $f(y,x)\in o_{x,y\in I}(g(y,x))$ 이다.

균등연속

정의. 균등연속(Uniform Continuity)
함수 $f$가 $I$에서 다음을 만족하면 $I$에서 균등연속이라고 한다.

$$f(y)=f(x)+\underset{x,y\in I}{o}(1)$$

각 $x$에서 $f(y)=f(x)+o_{y\to x}(1)$ 인 것이 연속이다. 균등연속은 $f(y)$가 $f(x)$에 가까워지는 속도가 $x$와 무관하다는 것이다.

예시. $y^2-x^2=(x+y)(y-x)$ 이므로 $x^2$은 $[0,1]$에서 균등연속이지만 $\mathbb{R}$에서는 균등연속이 아니다. $\mathbb{R}$에서는 $|x+y|$가 유계가 아니기 때문이다.

정리. 하이네-칸토어 정리
${\mathbb{R}}^n$의 유계인 닫힌 집합에서 연속인 함수는 그 집합에서 균등연속이다.
증명. 참고문헌 (1)을 보라.

즉 유계인 닫힌 집합에서는 연속성이 균등성을 보장한다. 오차항의 균등성은 대부분 이 정리에 의존한다.

따름정리. $f(x,t)$가 $[a,b]\times [c,d]$에서 연속이면 다음이 성립한다.

$$f(x,t+s)=f(x,t)+\underset{(x,t)\in [a,b]\times [c,d],s\to 0}{o}(1)$$

증명. 하이네-칸토어 정리를 두 점 $(x,t),(x,t+s)$에 적용한다. $■$

참고문헌

(1) Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis