Differentiation

Prerequisites: Big-O Like Notations

미분가능성

실수 함수 $f$가 $a$에서 미분가능하다는 것은 다음 극한이 존재한다는 것이다.

$$f^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

이 정의는 little-o notation으로 다음과 같이 적을 수 있다.

보조정리. 실수 함수 $f$가 $a$에서 미분가능하다는 것은 적당한 $u$가 존재하여 다음이 성립하는 것과 동치이다. 이때 $u=f^{\prime }(a)$이다.

$$f(x)=f(a)+u(x-a)+\underset{x\to a}{o}(x-a)$$

$f(a)+u(x-a)$를 $f$의 $a$에서의 일차근사(linear approximation)라고 한다.

증명. $e(x)=f(x)-f(a)-u(x-a)$라고 두면 $x\ne a$일 때 다음이 성립한다.

$$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=u+\frac{e(x)}{x-a}$$

Big-O Like Notations의 보조정리에 의해 $e(x)\in o_{x\to a}(x-a)$라는 것은 $e(x)/(x-a)\to 0$가 성립한다는 것이고 이는 $x\to a$일 때 좌변이 $u$로 수렴하는 것과 동치이다. $■$

따름정리. $f$가 $a$에서 미분가능하면 다음이 성립한다.

$$f(x)=f(a)+\underset{x\to a}{o}(1)$$

다시 말해 $f$는 $a$에서 연속이다.

증명. 미분가능성의 성질에 의해 $f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+e(x)$, $e(x)\in o_{x\to a}(x-a)$ 라고 적을 수 있다. $x\to a$ 이면 $x-a\to 0$ 이고 $e(x)=\frac{e(x)}{x-a}(x-a)\to 0$ 이므로 ${\lim }_{x\to a}(f^{\prime }(a)(x-a)+e(x))=0$ 이다. 따라서 $f^{\prime }(a)(x-a)+e(x)\in o_{x\to a}(1)$ 이다. $■$

예시. $|x|$는 $0$에서 연속이므로 $|x|=0+o_{x\to 0}(1)$ 이지만, $|x|=ux+o_{x\to 0}(x)$를 만족하는 $u$는 없다.

미분 법칙

이 절에서 $o(h)$는 $o_{h\to 0}(h)$를 뜻한다. 보조정리에 의해 $f$가 $x$에서 미분가능하다는 것은 다음과 같다.

$$f(x+h)=f(x)+f^{\prime }(x)h+o(h)$$

정리. 곱의 미분법
$u,v$가 $x$에서 미분가능하면 $(uv{)}^{\prime }(x)=u(x)v^{\prime }(x)+u^{\prime }(x)v(x)$ 이다.

증명. $u(x+h)=u(x)+u^{\prime }(x)h+e_1(h)$, $v(x+h)=v(x)+v^{\prime }(x)h+e_2(h)$ 라고 하자. 두 식을 곱하면 다음과 같다.

$$u(x+h)v(x+h)=u(x)v(x)+(u(x)v^{\prime }(x)+u^{\prime }(x)v(x))h+r(h)$$ $$r(h)=u^{\prime }(x)v^{\prime }(x)h^2+(u(x)+u^{\prime }(x)h)e_2(h)+(v(x)+v^{\prime }(x)h)e_1(h)+e_1(h)e_2(h)$$

$h\ne 0$ 이면 다음이 성립한다.

$$\frac{r(h)}{h}=u^{\prime }(x)v^{\prime }(x)h+(u(x)+u^{\prime }(x)h)\frac{e_2(h)}{h}+(v(x)+v^{\prime }(x)h)\frac{e_1(h)}{h}+e_1(h)\frac{e_2(h)}{h}$$

$h\to 0$ 이면 $e_1(h)/h\to 0$, $e_2(h)/h\to 0$, $e_1(h)\to 0$ 이므로 우변은 $0$으로 수렴한다. 따라서 $r\in o(h)$ 이다. $■$

정리. 연쇄법칙
$f$가 $x$에서 미분가능하고 $g$가 $y=f(x)$에서 미분가능하면 $(g\circ f{)}^{\prime }(x)=g^{\prime }(y)f^{\prime }(x)$ 이다.

증명. $k(h)=f(x+h)-f(x)$, $e(k)=g(y+k)-g(y)-g^{\prime }(y)k$ 라고 하면 다음이 성립한다.

$$g(f(x+h))-g(f(x))=g^{\prime }(y)k(h)+e(k(h))$$

$k\ne 0$ 이면 $\eta (k)=e(k)/k$, $\eta (0)=0$ 으로 두자. 그러면 $e(k)=\eta (k)k$ 이고, $e(k)\in o_{k\to 0}(k)$ 이므로 $\eta$는 $0$에서 연속이다. 따라서 $h\ne 0$ 이면 다음이 성립한다.

$$\frac{g(f(x+h))-g(f(x))}{h}=(g^{\prime }(y)+\eta (k(h)))\frac{k(h)}{h}$$

$h\to 0$ 이면 $f$의 연속성에 의해 $k(h)\to 0$ 이므로 $\eta (k(h))\to 0$ 이고, $k(h)/h\to f^{\prime }(x)$ 이다. $■$

$k(h)=0$인 $h$가 있어도 $\eta (0)=0$으로 두었으므로 따로 처리할 필요가 없다.

예시. $(x+h{)}^2=x^2+2xh+h^2$ 이고 $h^2\in o(h)$ 이므로 $(x^2{)}^{\prime }=2x$ 이다.