Differentiation of Integrals

Prerequisites: Uniform Big-O Like Notations, Partial Derivative and Multivariate Chain Rule, Riemann Integration

$F(t)={\int }_a^{b}f(x,t)dx$ 라고 하자. 언제 미분과 적분의 순서를 바꿀 수 있을까?

$$\frac{d}{dt}{\int }_a^{b}f(x,t)dx={\int }_a^b\frac{\partial f}{\partial t}(x,t)dx$$

적분은 오차를 $x$에 대해 더하는 것이므로, 오차가 $x$와 무관하게 작아야 적분 후에도 작다. 즉 $t$에 대한 일차근사의 오차가 $x$에 대해 균등하면 된다.

적분 기호 아래에서의 미분

정리.
$t$를 고정하자. $\frac{\partial f}{\partial t}(x,t)$가 $x$에 대해 $[a,b]$에서 적분가능하고 다음이 성립하면, $F$는 $t$에서 미분가능하고 $F^{\prime }(t)={\int }_a^b\frac{\partial f}{\partial t}(x,t)dx$ 이다.

$$f(x,t+s)=f(x,t)+\frac{\partial f}{\partial t}(x,t)s+\underset{x\in [a,b],s\to 0}{o}(s)$$

증명. 오차항을 $e(x,s)$라고 하면 다음이 성립한다.

$$F(t+s)-F(t)-s{\int }_a^b\frac{\partial f}{\partial t}(x,t)dx={\int }_a^{b}e(x,s)dx$$

균등성에 의해 $0<|s|<\delta$ 이면 $x$와 무관하게 $|e(x,s)|\le ϵ|s|$ 이므로, 우변의 절댓값은 $ϵ|s|(b-a)$ 이하이다. 따라서 우변은 $o_{s\to 0}(s)$ 이다. $■$

이는 Riemann Integration의 균등오차의 소거와 같은 구조이다. 거기서는 분할된 조각들에 대해 오차를 더했고, 여기서는 $x$에 대해 오차를 적분한다.

따름정리.
$f$와 $\frac{\partial f}{\partial t}$가 $[a,b]\times [c,d]$에서 연속이면 $t\in [c,d]$에서 다음이 성립한다.

$$\frac{d}{dt}{\int }_a^{b}f(x,t)dx={\int }_a^b\frac{\partial f}{\partial t}(x,t)dx$$

증명. 평균값 정리에 의해 $t$와 $t+s$ 사이의 $\xi$가 존재하여 다음이 성립한다.

$$f(x,t+s)-f(x,t)-\frac{\partial f}{\partial t}(x,t)s=\left(\frac{\partial f}{\partial t}(x,\xi )-\frac{\partial f}{\partial t}(x,t)\right)s$$

Uniform Big-O Like Notations의 따름정리에 의해 괄호 안은 $o_{x\in [a,b],s\to 0}(1)$ 이다. $■$

이 증명은 Riemann Integration에서 $C^1$이면 균등미분가능하다는 보조정리와 같다. 연속성이 닫힌 직사각형에서 균등성을 보장한다.

예시. $t\ge c>0$ 에서 $f(x,t)=x^t$ 와 $\frac{\partial f}{\partial t}(x,t)=x^t\ln x$ 는 $[0,1]\times [c,d]$에서 연속이다($x=0$에서 $0$으로 둔다). 따라서 ${\int }_0^1{x}^{t}dx=\frac{1}{t+1}$ 을 미분하여 다음을 얻는다.

$${\int }_0^1{x}^t\ln xdx=-\frac{1}{(t+1{)}^2}$$

예시. 균등하지 않으면 성립하지 않는다. $[0,1]$에서 $t>0$이면 $t<x<2t$일 때 $f(x,t)=1$, $t<0$이면 $|t|<x<2|t|$일 때 $f(x,t)=-1$, 나머지에서는 $0$이라고 하자. 각 $x$에서 $|t|<\frac{x}{2}$이면 $f(x,t)=0$ 이므로 $\frac{\partial f}{\partial t}(x,0)=0$ 이고, 따라서 ${\int }_0^1\frac{\partial f}{\partial t}(x,0)dx=0$ 이다. 그러나 $|t|$가 작으면 $F(t)=t$ 이므로 $F^{\prime }(0)=1$ 이다. 각 $x$에서 오차는 $o(s)$ 이지만, 폭이 $|t|$인 띠가 $0$ 쪽으로 움직이므로 균등하지 않다.

적분 구간이 변하는 경우

정리. 라이프니츠 적분 법칙
$f$와 $\frac{\partial f}{\partial t}$가 연속이고 $a(t),b(t)$가 미분가능하면 다음이 성립한다.

$$\frac{d}{dt}{\int }_{a(t)}^{b(t)}f(x,t)dx=f(b(t),t)b^{\prime }(t)-f(a(t),t)a^{\prime }(t)+{\int }_{a(t)}^{b(t)}\frac{\partial f}{\partial t}(x,t)dx$$

증명. $G(u,v,t)={\int }_u^{v}f(x,t)dx$ 라고 하면 미적분학의 기본정리 2에 의해 $D_{1}G=-f(u,t)$, $D_{2}G=f(v,t)$ 이고, 위의 따름정리에 의해 $D_{3}G={\int }_u^v\frac{\partial f}{\partial t}dx$ 이다. 세 편도함수가 연속이므로 $G$는 미분가능하고, 다변수 연쇄법칙을 적용한다. $■$

더 일반적인 경우

• 적분 구간이 무한하거나 이상적분인 경우, 위의 조건에 더해 $\int \frac{\partial f}{\partial t}(x,t)dx$가 $t$에 대해 균등하게 수렴해야 한다.

참고문헌

(1) Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis