Applications of Riemann Integration

Prerequisites: Riemann Integration

Riemann Integration의 적분에서의 균등오차의 소거를 넓이 이외의 양에 적용한다. 작은 조각의 양을 $g(x)(y-x)$로 근사하고, 그 오차가 $o_{x,y\in [a,b]}(y-x)$임을 보이면 된다.

이하의 계산에서 다음 사실을 사용한다.

(1) $f$가 $[a,b]$에서 $C^1$이면 균등미분가능하므로 다음이 성립한다.

$$\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=f^{\prime }(x)+\underset{x,y\in [a,b]}{o}(1)$$

(2) $\left|\frac{d}{du}\sqrt{1+u^2}\right|\le 1$ 이므로 $\left|\sqrt{1+u^2}-\sqrt{1+v^2}\right|\le |u-v|$ 이다.

곡선의 길이

$f$가 $[a,b]$에서 $C^1$이라고 하자. 곡선 $y=f(x)$의 길이는 분할점을 이은 선분 길이의 합의 극한으로 정의한다. 소구간 $[x,y]$ 위의 선분의 길이는 다음과 같다.

$$q(x,y)=\sqrt{(y-x{)}^2+(f(y)-f(x){)}^2}=\sqrt{1+{\left(\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right)}^2}(y-x)$$

위의 두 사실에 의해 $q(x,y)=\sqrt{1+f^{\prime }(x{)}^2}(y-x)+o_{x,y\in [a,b]}(y-x)$ 이므로, 적분에서의 균등오차의 소거에 의해 길이는 다음과 같다.

$$L={\int }_a^b\sqrt{1+f^{\prime }(x{)}^2}dx$$

예시. 계단 역설
$[0,1]$에서 $f(x)=x$의 그래프를 가로 $y-x$, 세로 $y-x$인 계단으로 근사하면 한 계단의 길이는 다음과 같다.

$$q(x,y)=2(y-x)=\sqrt{2}(y-x)+(2-\sqrt{2})(y-x)$$

오차 $(2-\sqrt{2})(y-x)$는 $O_{x,y\in [0,1]}(y-x)$ 이지만 $o_{x,y\in [0,1]}(y-x)$가 아니므로 소거되지 않는다. 따라서 계단의 길이는 분할이 아무리 세밀해져도 $\sqrt{2}$가 아니라 $2$이다.

입체의 부피

축 위의 구간 $[x,y]$ 사이에 있는 입체의 부피를 $V(x,y)$, 점 $x$에서 축에 수직인 단면의 넓이를 $S(x)$라고 하자. 부피는 가법성과 다음 성질을 만족해야 한다.

• ${\min }_{[x,y]}S\cdot (y-x)\le V(x,y)\le {\max }_{[x,y]}S\cdot (y-x)$

$S$가 연속이면 하이네-칸토어 정리에 의해 ${\max }_{[x,y]}S-{\min }_{[x,y]}S\in o_{x,y\in [a,b]}(1)$ 이므로 $V(x,y)=S(x)(y-x)+o_{x,y\in [a,b]}(y-x)$ 이다. 적분에서의 균등오차의 소거에 의해 부피는 다음과 같다.

$$V(a,b)={\int }_a^{b}S(x)dx$$

예시. 회전체의 부피
$f\ge 0$이 연속이고 곡선 $y=f(x)$를 $x$축 둘레로 회전시킨 입체의 단면은 반지름 $f(x)$인 원판이다. 구간 $[x,y]$ 부분은 반지름 ${\min }_{[x,y]}f$인 원기둥과 반지름 ${\max }_{[x,y]}f$인 원기둥 사이에 있으므로 위의 성질을 만족한다. 따라서 $V={\int }_a^b\pi f(x{)}^{2}dx$ 이다. 예를 들어 반지름 $r$인 구의 부피는 다음과 같다.

$$V={\int }_{-r}^r\pi (r^2-x^2)dx=\frac{4}{3}\pi r^3$$

부피에는 연속성만 필요하고, 길이와 겉넓이에는 $C^1$이 필요하다.

회전체의 겉넓이

$f\ge 0$이 $[a,b]$에서 $C^1$이라고 하자. 곡선 $y=f(x)$를 $x$축 둘레로 회전시킨 곡면의 겉넓이는, 선분을 회전시켜 얻은 원뿔대들의 겉넓이 합의 극한으로 정의한다. 소구간 $[x,y]$ 위의 원뿔대의 겉넓이는 다음과 같다.

$$q(x,y)=2\pi \frac{f(x)+f(y)}{2}\sqrt{(y-x{)}^2+(f(y)-f(x){)}^2}$$

정리. 회전체의 겉넓이는 다음과 같다.

$$A={\int }_a^{b}2\pi f(x)\sqrt{1+f^{\prime }(x{)}^2}dx$$

증명. 다음과 같이 두자.

$$dA=2\pi f(x)\sqrt{1+f^{\prime }(x{)}^2}(y-x)$$ $$e_1=\frac{f(x)+f(y)}{2}-f(x),e_2=\sqrt{1+{\left(\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right)}^2}-\sqrt{1+f^{\prime }(x{)}^2}$$

그러면 $q(x,y)=2\pi (f(x)+e_1)(\sqrt{1+f^{\prime }(x{)}^2}+e_2)(y-x)$ 이므로 다음이 성립한다.

$$q(x,y)-dA=2\pi (f(x)e_2+\sqrt{1+f^{\prime }(x{)}^2}{e}_1+e_1{e}_2)(y-x)$$

$e_1=\frac{f(y)-f(x)}{2}$ 이므로 균등연속성에 의해 $e_1\in o_{x,y\in [a,b]}(1)$ 이고, 위의 두 사실에 의해 $e_2\in o_{x,y\in [a,b]}(1)$ 이다. $f$와 $f^{\prime }$은 유계이므로 괄호 안은 $o_{x,y\in [a,b]}(1)$ 이고, 적분에서의 균등오차의 소거에 의해 결론이 성립한다. $■$

예시. $[0,H]$에서 $f(x)=kx$ 이면 원뿔의 옆넓이는 다음과 같다.

$$A={\int }_0^{H}2\pi kx\sqrt{1+k^2}dx=\pi k\sqrt{1+k^2}{H}^2$$

밑면의 반지름 $R=kH$와 모선의 길이 $\ell =H\sqrt{1+k^2}$를 쓰면 $A=\pi R\ell$ 이다.

예시. 원기둥 근사
원뿔대 대신 원기둥 $2\pi f(x)(y-x)$로 근사하면 합은 ${\int }_a^{b}2\pi f$로 수렴한다. 실제 겉넓이와의 차이 $2\pi f(x)\left(\sqrt{1+f^{\prime }(x{)}^2}-1\right)(y-x)$는 $O(y-x)$ 이지만 $f^{\prime }\ne 0$인 곳에서 $o(y-x)$가 아니므로 소거되지 않는다. 반지름은 어떻게 근사해도 오차가 $o(1)$이라 무해하지만, 빗변의 길이는 $y-x$에 대해 일차까지 정확해야 한다.

참고. 곡면을 삼각형들로 근사하면 삼각형이 작아져도 넓이의 합이 수렴하지 않을 수 있다(슈바르츠 랜턴, 참고문헌 (1)). 그래서 회전체의 겉넓이는 원뿔대로 정의한다.

참고문헌

(1) Wikipedia, Schwarz lantern