변수(variable)라는 단어는 수학에서 많은 의미로 사용된다. 여기서는 그 정의 중 비교적 편리한 것을 설명한다. 이때 변수의 정의는 다음과 같다.
- 변수는 그것을 나타내는 문자와, 그것이 만족해야 하는 성질로 정의된다.
- 변수를 나타내는 문자를 포함한 문장은, 그 문자를 해당 성질을 만족하는 임의의 대상으로 치환했을 때 항상 참이 되는 경우에만 참으로 규정한다.
예를 들어 변수 는 소수여야 한다는 성질에 의해 정의된 수 있다. 그러면 를 사용한 문장 “은 소수이다”와 같은 것을 생각할 수 있는데 이는 거짓이다. 왜냐하면 으로 치환하면 는 소수가 아니기 때문이다.
여러 변수를 동시에 다루는 경우에 하나의 변수가 다른 변수에 의존적으로 정의되는 경우가 있다. 이런 때에는 위의 두 번째 조건을 조금 더 자세히, 다음과 같이 적을 필요가 있다.
- 변수를 나타내는 문자들을 포함한 문장은, 그 문자들을 해당 성질들을 모두 만족하는 임의의 대상들로 치환했을 때 항상 참이 되는 경우에만 참으로 규정한다.
예를 들어 변수 이고 이라고 정의한다고 해 보자. 그러면 이라는 문장은 거짓이다. 왜냐하면 가정에 의해 이면 로 반드시 치환되어야 하기 때문이다.
이러한 해석에서 상수(constant)란 등식을 성질로 가지는 변수이다.