Functor

Prerequisites: Category

Functor의 정의

어느 category $C$에서 $D$로 가는 functor $F\in C\Rightarrow D$ 는 object의 mapping $F_{ob}\in obC\Rightarrow obD$ 와 morphism의 mapping $F_{hom}\in homC\Rightarrow homD$ 로 구성된다. 이때 functor는 다음을 만족해야 한다.

• (Preserving Identity) $c\in obC\to F_{ob}(i{d}_c)=i{d}_{F(c)}$
• (Preserving Composition) $f\in c_1{\Rightarrow }_C{c}_2,g\in c_2\Rightarrow c_3\to F_{hom}(f;g)=F_{hom}(f);F_{hom}(g)$

Functor를 적을 때 아래첨자는 일반적으로 생략된다.

Functor Image

Functor $F\in C\Rightarrow D$에 대한 image $F(C)$는 다음과 같은 graph로 정의된다. 이때 $F(C)$가 반드시 category인 것은 아니다.

• $obF(C)=\{d|c\in obC,d=F(c)\}$
• $arrF(C)=\{g|f\in homC,g=F(f)\}$

Indexing Category and Diagram

Category $J,C$ 사이의 functor $D\in J\Rightarrow C$가 있다고 가정하자. 이때 우리는 $D$가 $C$의 subgraph $D(J)$에 index를 부여하는 것으로 생각할 수 있다.

예를 들어 다음과 같이 $J,C$가 정의되고, $D$가 다음의 표와 같이 정의된다고 하자.

$$J=\boxed{1\stackrel{f}{\to }2\stackrel{g}{\to }3}C=\boxed{a\begin{array}{c}\underset{q}{\leftarrow }\\ \stackrel{p}{\to }\end{array}b\stackrel{r}{\to }c\stackrel{z}{\to }d}$$ $$\begin{array}{cc}X& D(X)\\ 1& a\\ 2& b\\ 3& c\\ f& p\\ g& r\end{array}$$

이는 다음과 같이 라벨링되어 있는 $C$를 정의한 것과 다르지 않다. 라벨은 아래첨자로 표기했다.

$$C_{labeled}=\boxed{a_{[1]}\begin{array}{c}\underset{q}{\leftarrow }\\ \stackrel{p_{[f]}}{\to }\end{array}{b}_{[2]}\stackrel{r_{[g]}}{\to }{c}_{[3]}\stackrel{z}{\to }d}$$

이처럼 $D$는 $J$의 구조를 갖춘 $C$의 부분 $D(C)$를 선택하여 index를 부여한다. 따라서 $J$를 indexing category 라고 하고 $D$를 diagram이라고 한다.

Functor의 예시

• 어느 두 preorder category $P,Q$에 대해 임의의 functor $F$는 monotonic function이다.
• 어떤 자료형 $T$를 그 자료형의 list type $[T]$로 변환하는 functor를 생각할 수 있다. 이때 $T$에서의 함수는 $[T]$에서 element-wise application을 통해 정의된다.

References

(1) Brendan Fong, David I. Spivak, Seven Sketches in Compositionality