Natural Transformation

Prerequisites: Category, Functor, Isomorphism

Natural Transformation에 대해 살펴보자.

Natural Transformation의 정의

두 functor $F,G\in C\Rightarrow D$간의 natural transformation $\alpha$는 각 $c\in obC$를 ${\alpha }_c\in F(c){\Rightarrow }_{D}G(c)$로 대응시키는 함수이다. 이때 ${\alpha }_c$를 $\alpha$의 $c$-component 라고 한다. 또한 $\alpha$는 다음의 diagram이 commute 하도록 해야 한다. 이와 같은 조건을 naturality condition 이라고 한다.

$$\begin{array}{ccccc}C& & & D& \\ x& & F(x)& \stackrel{{\alpha }_x}{⟶}& G(x)\\ \text{f}\downarrow & & \text{F(f)}\downarrow & & \downarrow \text{ G(f)}\\ y& & F(y)& \stackrel{{\alpha }_y}{⟶}& G(y)\end{array}$$

이를 수식으로 적으면 다음과 같다.

$$F(f);{\alpha }_y={\alpha }_x;G(f)$$

만약 각 ${\alpha }_c$가 isomorphism 이라면, $\alpha$를 natural isomorphism 이라고 한다.

Natural Transformation의 의미

두 functor $F,G\in C\Rightarrow D$간의 natural trnasformation $\alpha$는 같은 구조 $C$에서 파생되는 두 functor image $F(C),G(C)$를 서로 이어주는 $D$의 morphism들의 indexed collection 이다. 이때 naturality condition은 $\alpha$에 의해 정의되는 mapping이 $f\in homC$의 의미를 보존하도록 강제한다.

예를 들어서 $x$가 “느리다”, $y$가 “빠르다”라는 단어이고 $f$는 반의어 관계를 나타낸다고 해 보자. 이때 $F$가 한국어를 영어로 번역하고 $G$가 한국어를 일본어로 번역한다면 예를 들어 다음과 같은 결과가 나올 것이다.

$$\begin{array}{ccccc}\text{Korean (C)}& & & \text{Translation (D)}& \\ \text{느리다}& & \text{slow}& \stackrel{{\alpha }_{\text{느리다}}}{⟶}& \text{遅い}\\ \text{f (반의어)}\downarrow & & \text{F(f)}\downarrow & & \downarrow \text{ G(f)}\\ \text{빠르다}& & \text{fast}& \stackrel{{\alpha }_{\text{빠르다}}}{⟶}& \text{速い}\end{array}$$

이제 우리는 영어를 일본어로 대응시킨 뒤 (slow $\to$ 遅い) 반의어 관계를 적용시킨 것과 (遅い $\to$ 速い), 영어에 반의어 관계를 적용한 뒤 (slow $\to$ fast) 일본어에 대응시킨 것 (fast $\to$ 速い) 이 동일한 의미를 가지는 게 자연스럽다고 생각한다. 즉 이와 같은 commutativeness가 naturality condition이다.

Functor Category

두 category $C,D$에 대해 functor category $D^C$는 다음과 같이 정의된다.

Objects & Morphisms

$D^C$의 object는 $C\Rightarrow D$에 속하는 functor 이며, $D^C$의 morphism은 두 functor 간의 natural transformation 이다.

Composition & Identity

$\alpha \in F{\Rightarrow }_{D^C}G,\beta \in G{\Rightarrow }_{D^C}H$ 라고 하자. 이때 $\alpha ;\beta =\gamma$ 는 다음을 만족하도록 정의된다.

$$c\in obC\to {\alpha }_c;{\beta }_c={\gamma }_c$$

한편 $i{d}_F\in F{\Rightarrow }_{D^C}F$는 다음과 같이 정의된다.

$$c\in obC\to (i{d}_F{)}_c=i{d}_{F(c)}$$

References

(1) Brendan Fong, David I. Spivak, Seven Sketches in Compositionality