Hom-Functor

Prerequisites: Arrow Notation, Category, Functor

Covariant Hom-Functor

어느 category $C$를 생각하자. 만약 모든 $x\in obC$에 대해 $a{\Rightarrow }_{C}x\in ob\text{Set}$ 이라면, 즉 이 category의 hom-set이 항상 small set 이라면 다음과 같은 functor를 정의할 수 있다.

$$C(a,-)\in C\Rightarrow \text{Set}$$

구체적으로 어느 object $b\in obC$에 대해서는 다음과 같이 정의되며

$$C(a,-)(b)=(a{\Rightarrow }_{C}b)$$

어느 morphism $f\in c{\Rightarrow }_C{c}^{\prime }$에 대해서는 다음과 같이 정의된다.

$$C(a,-)(f)=\alpha \in (a{\Rightarrow }_{C}c){\Rightarrow }_{\text{Set}}(a\Rightarrow c^{\prime })s.t.\alpha (w)=w;f$$

Contravariant Hom-Functor

비슷하게 category $C$에 대한 contravariant hom-functor는 다음과 같이 정의된다.

$$C(-,b)\in C^{op}\Rightarrow \text{Set}$$

Object $a\in obC$에 대해서는 다음과 같이 정의되며

$$C(-,b)(a)=(a{\Rightarrow }_{C}b)$$

어느 morphism $f\in c{\Rightarrow }_C{c}^{\prime }$에 대해서는 다음과 같이 정의된다.

$$C(-,b)(f^{op})=\alpha \in (c^{\prime }{\Rightarrow }_{C}b){\Rightarrow }_{\text{Set}}(c{\Rightarrow }_{C}b)s.t.\alpha (w)=f;w$$

Footnote

• 만약 hom-set이 large set인 경우 그러한 hom-set을 담을 수 있는 $\text{Ens}$ category를 정의하여 $\text{Set}$ 대신 사용한다. 자세한 것은 참고문헌 (1)을 볼 것.
• 가독성을 높이기 위해 $(x{\Rightarrow }_C)$와 같은 double arrow는 arrow collection을 표현하기 위해서만 사용하므로 hom-functor $C(x,-)$와 동일한 의미를 가지지 않는다. 전자는 collection이고 후자는 functor이다.

References

(1) Mac Lane, Categories for the Working Mathematicians