Cone

Prerequisites: Category, Functor

Single Cone

Diagram $D\in J\Rightarrow C$가 있을 때 어떤 $c\in obC$와 $a\in obJ\Rightarrow homC$에 대해 다음 조건이 성립한다면 $(c,a)$를 $D$ 위의 cone 이라고 한다.

• $j\in obJ\to a_j\in c{\Rightarrow }_{C}D(j)$

$$\begin{array}{ccccccc}& & & c& & & \\ & {}^{a_1}\swarrow & & \downarrow a_j& & {\searrow }^{a_n}& \\ D(1)& & \dots & D(j)& \dots & & D(n)\end{array}$$

• $f\in j{\Rightarrow }_{J}k\to a_k=a_j;D(f)$

$$\begin{array}{ccccc}J& & & C& \\ & & & c& \\ & & {}^{a_i}\swarrow & & {\searrow }^{a_j}\\ i\stackrel{f}{\to }j& & D(i)& \stackrel{D(f)}{\to }& D(j)\end{array}$$

Cone Category

어느 diagram $D\in J\Rightarrow C$에 대해 cone category $ConeD$는 다음과 같이 정의된다.

Objects of $ConeD$

$obConeD$는 $D$ 위의 가능한 모든 cone이다.

Morphisms of $ConeD$

$homConeD$는 $homC$에서 유도되는 collection이다. 구체적으로 $h\in (c,a){\Rightarrow }_{ConeD}(c^{\prime },a^{\prime })$은 다음과 동치이다.

• $\exists f\in c{\Rightarrow }_C{c}^{\prime },(j\in obJ\to a_j=f;a_j^{\prime })$

$$\begin{array}{ccc}c& \stackrel{f}{\to }& c^{\prime }\\ {}_{a_j}\searrow & & {\swarrow }_{a_j^{\prime }}\\ & D(j)& \end{array}$$

즉 두 cone $(c,a),(c^{\prime },a^{\prime })$간의 morphism이 $ConeD$에 존재할 조건은 $a_j=f;a_j^{\prime }$ 이 성립하는 $f\in c{\Rightarrow }_C{c}^{\prime }$ 가 존재하는 것이다.

References

(1) Brendan Fong, David I. Spivak, Seven Sketches in Compositionality