Limit

Prerequisites: Category, Functor, Cone

Terminal Object

Category $C$의 object $t$에 대해 다음이 성립할 때 이를 terminal object라고 부른다.

$$c\in obC\to \exists !f,f\in c\Rightarrow t$$

이제 아래가 성립한다.

Theorem. $C$의 terminal object $t$는 unique up to unique isomorphism 하다.

Proof. $t,t^{\prime }$이 $C$의 terminal object라 하자. 그러면 정의에 의해 $a\in t{\Rightarrow }_C{t}^{\prime }$인 $a$와 $b\in t^{\prime }{\Rightarrow }_{C}t$인 $b$가 유일하게 존재한다. 이때 $a;b\in t{\Rightarrow }_{C}t$ 이며 $i{d}_t\in t{\Rightarrow }_{C}t$ 이므로 terminal object의 정의를 적용하면 $a;b=i{d}_t$ 이며 비슷하게 $b;a=i{d}_{t^{\prime }}$ 이다. 이로부터 $a,b$가 isomorphism 이므로 $t\cong t^{\prime }$ 이 성립하며 $a,b$가 유일함으로 terminal object는 unique up to unique isomorphism 이라고 할 수 있다.

Limit

어느 $ConeD$에 대해 $limD$는 $ConeD$의 terminal object이다.

References

(1) Brendan Fong, David I. Spivak, Seven Sketches in Compositionality