Yoneda Lemma

Prerequisites: Natural Transformation. Hom-Functor, Universal Arrow

Yoneda Lemma

Yoneda lemma는 다음과 같이 주어진다.

Lemma. Yoneda Lemma
Functor $K\in D\Rightarrow \text{Set}$와 $r\in obD$를 가정하자. 또한 $D$의 임의의 hom-set $x{\Rightarrow }_{D}y$가 모두 small set이라고 하자. 그러면 다음과 같은 bijection $\gamma$가 존재하며,

$$\gamma \in (D(r,-){\Rightarrow }_{{\text{Set}}^D}K)\Rightarrow K(r)$$

아래와 같이 정의된다.

$$\gamma (\alpha )={\alpha }_r(i{d}_r)$$

따라서 다음이 성립한다.

$$D(r,-){\Rightarrow }_{{\text{Set}}^D}K\cong K(r)$$

Proof.
이 보조정리를 증명하기 위해서는 위와 같이 정의되는 $\gamma$가 injective 하고 surjective 함을 보여야 한다. 이를 보이기 위해 먼저 다음이 필요하다.

(Property of $\alpha$)
임의의 $\alpha \in D(r,-){\Rightarrow }_{{\text{Set}}^D}K$와, 임의의 $d\in obD,f^{\prime }\in r{\Rightarrow }_{D}d$에 대해 다음 식이 성립한다.

$${\alpha }_d(f^{\prime })=K(f^{\prime })({\alpha }_r(i{d}_r))$$

그 증명은 다음과 같다. $\alpha$는 natural transformation이므로 다음 diagram이 commute 한다.

$$\begin{array}{ccccc}D& & & \text{Set}& \\ r& & D(r,r)& \stackrel{{\alpha }_r}{⟶}& K(r)\\ \text{g}\downarrow & & \text{D(r, g)}\downarrow & & \downarrow \text{ K(g)}\\ d& & D(r,d)& \stackrel{{\alpha }_d}{⟶}& K(d)\end{array}$$

또한 $i{d}_r\in obD(r,r)$이므로 다음의 두 식이 같아야 한다.

$$({\alpha }_r;K(g))(i{d}_r)=K(g)({\alpha }_r(i{d}_r))$$ $$(D(r,g);{\alpha }_d)(i{d}_r)={\alpha }_d(g)$$

이들을 연립하면 원하는 결과를 얻는다.

이후의 증명의 개요는 이렇다. ${\alpha }_d(f^{\prime })=K(f^{\prime })({\alpha }_r(i{d}_r))$는 $\alpha$의 구체적인 값이 오직 ${\alpha }_r(i{d}_r)$에 의해서 정의된다는 뜻이다. 따라서 임의의 $\alpha$와 ${\alpha }_r(i{d}_r)$간에 일대일 대응 $\gamma (\alpha )={\alpha }_r(i{d}_r)$가 존재할 것이라고 추측할 수 있다. 이를 구체적으로 보이기 위해 $\gamma$의 injectivity와 surjectivity를 보이자.

(Injectivity)
만약 $\alpha \ne \beta$이면 $\gamma (\alpha )\ne \gamma (\beta )$임을, 동등하게 $\gamma (\alpha )=\gamma (\beta )$이면 $\alpha =\beta$임을 보여야 한다. 이를 위해 $\gamma (\alpha )=\gamma (\beta )$라고 가정하자. 그러면 정의에 의해 다음이 성립한다.

$$\gamma (\alpha )={\alpha }_r(i{d}_r)={\beta }_r(i{d}_r)=\gamma (\beta )$$

따라서 앞서서 살펴본 바에 의해 임의의 $d\in obD,f^{\prime }\in r{\Rightarrow }_{D}d$에 대해 다음이 성립한다.

$${\alpha }_d(f^{\prime })=K(f^{\prime })({\alpha }_r(i{d}_r))=K(f^{\prime })({\beta }_r(i{d}_r))={\beta }_d(f^{\prime })$$

따라서 임의의 $d,f^{\prime }$에 대해 ${\alpha }_d(f^{\prime })={\beta }_d(f^{\prime })$이므로 $\alpha =\beta$이다.

(Surjectivity)
모든 $w\in K(r)$에 대해 $w=\gamma (\alpha )$가 되도록 하는 $\alpha$가 존재함을 보여야 한다. 이때 $\alpha$를 임의의 $d\in obD,f^{\prime }\in r{\Rightarrow }_{D}d$에 대해 다음을 만족하도록 정의한다고 해 보자.

$${\alpha }_r(i{d}_r)=wand{\alpha }_d(f^{\prime })=K(f^{\prime })(w)$$

이제 이러한 $\alpha$가 naturality를 만족한다면 surjectivity를 보이기에 충분하다. 이때의 naturality condition은 $d,d^{\prime }\in obD,g\in d{\Rightarrow }_D{d}^{\prime }$에 대해 아래와 같이 주어진다.

$$D(r,g);{\alpha }_{d^{\prime }}={\alpha }_d;K(g)$$

이제 임의의 $f^{\prime }\in r\Rightarrow d$에 대해 다음 두 식을 얻을 수 있다.

$$(D(r,g);{\alpha }_{d^{\prime }})(f^{\prime })={\alpha }_{d^{\prime }}(f^{\prime };g)=K(f^{\prime };g)(w)$$ $$({\alpha }_d;K(g))(f^{\prime })=K(g)({\alpha }_d(f^{\prime }))=K(g)(K(f^{\prime })(w))=(K(f^{\prime });K(g))(w)=K(f^{\prime };g)(w)$$

이 둘이 같음으로 $\alpha$는 natural 하다.

이들 결과를 조합하면 $\gamma$는 bijective함을 알 수 있다. ​

Yoneda Lemma and Universal Arrow

위 그림과 같은 상황을 고려해 보자. 이때 $\ast =\{\bullet \}$와 같이 원소를 하나 가지는 임의의 집합이라고 하자. 그러면 $\ast$에서 어떤 집합으로 가는 함수는, 그 집합의 원소 하나를 선택하는 것으로 정의된다. 즉 임의의 $d\in obD$에 대해서 다음이 성립한다.

$$(\ast \Rightarrow K(d))\cong K(d)$$

이와 같은 bijection을 $s_d\in K(d)\Rightarrow (\ast \Rightarrow K(d))$로 정의하자. 이제 앞선 증명에서 다음의 식이 성립했다.

$${\alpha }_d(f^{\prime })=K(f^{\prime })({\alpha }_r(i{d}_r))$$

그러면 이 식은 동등하게 아래와 같이 적을 수 있다.

$$s_d({\alpha }_d(f^{\prime }))=s_r({\alpha }_r(i{d}_r));K(f^{\prime })$$

이는 universal arrow의 식과 거의 유사하다. 실제로 만약 $\alpha$가 natural isomorphsim이라면 $(r,s_r({\alpha }_r(i{d}_r))$은 $\ast$에서 $K$로 가는 universal arrow이다. 따라서 Yoneda lemma는 완화된 조건에서의 universal arrow를 설명하는 것으로 볼 수 있다.

Yoneda Functor

Yoneda lemma에서 $K=D(d,-)$라 두면 다음의 bijection $\gamma$가 존재한다.

$$\gamma \in (D(r,-){\Rightarrow }_{{\text{Set}}^D}D(d,-))\Rightarrow D(d,r)$$

이로부터 Functor $Y\in D^{op}\Rightarrow {\text{Set}}^D$를 생각하자. 이때 $r\in obD,h\in d{\Rightarrow }_{D}r$에 대해 다음과 같이 정의하자.

$$Y(r)=D(r,-)Y(h^{op})={\gamma }^{-1}(h)$$

이때 $\gamma$가 bijection이므로 $Y$는 full and faithful functor이다. 이러한 $Y$를 Yoneda functor 혹은 Yoneda embedding 이라고 한다.

Footnote

• Small set에 관한 자세한 논의는 참고문헌 (1)의 21-30pp를 볼 것.

References

(1) Mac Lane, Categories for the Working Mathematicians