Universal Arrow

Universal Arrow

(그림에서 $\to$는 하나의 morphim을, $\Rightarrow$는 두 object간에 정의된 모든 morphism의 hom-set을 의미한다.)

Definition. Universal Arrow
Category $D$에서 $C로가는functor$S$와어느$c \in ob\ C$에대하여어느$r \in ob\ D$과$u \in c \Rightarrow_C S(r)$이존재하여모든$f \in c \Rightarrow S(d)$에대해$f = u ; S(f’)$인$f’ \in r \Rightarrow d$가유일하게존재하도록한다면이러한$r, u$의순서쌍$(r, u)$를$c$에서$S$로 가는 universal arrow 라고 한다.

Properties of Universal Arrow

Universal arrow에 대해 다음 세 명제가 서로 동치이다.

1. $(r,u)$가 $c$에서 $S$로 가는 universal arrow이다.
2. 모든 $d\in obD$에 대해 ${\varphi }_d\in (r{\Rightarrow }_{D}d)\Rightarrow (c{\Rightarrow }_{C}S(d))$인 bijection ${\varphi }_d$가 존재하며 ${\varphi }_d(f^{\prime })=u;S(f^{\prime })$ 으로 정의된다.
3. hom-functor $D(r,-)$에서 $C(c,S(-))$로 가는 natural isomorphim $\varphi$가 존재하며 그 $d$-component가 ${\varphi }_d(f^{\prime })=u;S(f^{\prime })$로 정의된다.

먼저 (1)과 (2)가 동치임을 보이자.

Proposition 1.1.
만약 모든 $d\in obD$에 대해 ${\varphi }_d\in (r{\Rightarrow }_{D}d)\Rightarrow (c{\Rightarrow }_{C}S(d))$인 bijection ${\varphi }_d$가 존재하여 ${\varphi }_d(f^{\prime })=u;S(f^{\prime })$ 으로 정의되는 것과 $(r,u)$가 universal arrow인 것은 서로 동치이다.

Proof. 생략

이제 (2)와 (3)이 동치임을 보이자.

Proposition 1.2.
${\varphi }_d\in (r{\Rightarrow }_{D}d)\Rightarrow (c{\Rightarrow }_{C}S(d))$인 bijection ${\varphi }_d$가 존재하여 ${\varphi }_d(f^{\prime })=u;S(f^{\prime })$인 것과 hom-functor $D(r,-)$에서 $C(c,S(-))$로 가는 natural isomorphim $\varphi$가 존재하여 그 $d$-component가 ${\varphi }_d(f^{\prime })=u;S(f^{\prime })$로 정의되는 것은 동치이다.

Proof.
(전자에서 후자를 증명)
가정에서 주어진 $\varphi$가 모든 $d$에 대해 bijection이고 natural하면 이는 natural isomorphism이라고 할 수 있다. 가정에 의해 ${\varphi }_d$가 bijection이므로 naturality만 보이면 충분하다. 이때 naturality는 다음 commutative diagram에 의해 정의된다.

$$\begin{array}{ccccc}D& & & \text{Set or Ens}& \\ d& & D(r,d)& \stackrel{{\varphi }_d}{⟶}& C(c,S(d))\\ \text{g}\downarrow & & \text{D(r, g)}\downarrow & & \downarrow \text{ C(c, S(g))}\\ d^{\prime }& & D(r,d^{\prime })& \stackrel{{\varphi }_{d^{\prime }}}{⟶}& C(c,S(d^{\prime }))\end{array}$$

이때 $f^{\prime }\in r{\Rightarrow }_{D}d$에 대하여 다음 두 식이 같아야 한다.

$$({\varphi }_d;C(c,S(g)))(f^{\prime })=C(c,S(g))(u;S(f^{\prime }))=u;S(f^{\prime });S(g)$$ $$(D(r,g);{\varphi }_{d^{\prime }})(f^{\prime })={\varphi }_{d^{\prime }}(f^{\prime };g)=u;S(f^{\prime };g)=u;S(f^{\prime });S(g)$$

두 결과가 같음으로 naturality가 성립한다.

(후자에서 전자를 증명)
$\varphi$가 natural isomorphism 이므로 위의 diagram이 commute 한다. 이제 $d=r$이라고 두면 다음과 같이 된다.

$$\begin{array}{ccccc}D& & & \text{Set or Ens}& \\ r& & D(r,r)& \stackrel{{\varphi }_r}{⟶}& C(c,S(r))\\ \text{g}\downarrow & & \text{D(r, g)}\downarrow & & \downarrow \text{ C(c, S(g))}\\ d^{\prime }& & D(r,d^{\prime })& \stackrel{{\varphi }_{d^{\prime }}}{⟶}& C(c,S(d^{\prime }))\end{array}$$

이때 $i{d}_r\in obD(r,r)$에 대하여 다음 두 식이 같아야 한다.

$$({\varphi }_r;C(c,S(g)))(i{d}_r)=C(c,S(g))({\varphi }_r(i{d}_r))={\varphi }_r(i{d}_r);S(g)$$ $$(D(r,g);{\varphi }_{d^{\prime }})(i{d}_r)={\varphi }_{d^{\prime }}(i{d}_r;g)={\varphi }_{d^{\prime }}(g)$$

따라서 아래 식이 성립해야 한다.

$${\varphi }_r(i{d}_r);S(g)={\varphi }_{d^{\prime }}(g)$$

이는 임의의 $d^{\prime }$에 대해 성립함으로 전자를 증명한 것과 같다. ​

References

(1) Mac Lane, Categories for the Working Mathematicians