Isomorphism

Prerequisites: Category

Isomorphism의 정의

어느 카테고리 $C$의 morphism $f\in x{\Rightarrow }_{C}y$ 가 isomorphism이라는 것은 어떤 $g\in y{\Rightarrow }_{C}x$ 가 존재하여 $f;g=i{d}_x,g;f=i{d}_y$ 라는 것과 동치이다. 즉, $f$가 inverse를 가진다면 $f$는 isomorphism이다.

만약 어느 두 object $x,y\in obC$ 사이에 isomorphism이 존재한다면 두 object가 isomorphic 하다고 하고 이를 다음과 같이 적는다.

$$x\cong y$$

Isomorphism의 의미

$x,y$가 집합이고 $f$가 집합 간에 정의된 함수라면 두 집합이 isomorphic 하다는 것은 두 집합을 구성하는 원소를 서로 일대일 대응시킬 수 있다는 것이다. 따라서 다음이 성립한다.

$$x\cong y⟺|x|=|y|$$

만약 $x,y$가 vector space이고 $f$가 linear transformation 이라면, 두 vector space가 isomorphic 하다는 것은 두 vector space를 차원의 손실 없이 연결할 수 있다는 것이다. 즉 다음이 성립한다.

$$x\cong y⟺dim(x)=dim(y)$$

References

(1) Brendan Fong, David I. Spivak, Seven Sketches in Compositionality