Notation for Arrow and Logic

Arrow

Arrow(화살표)는 domain(정의역), codomain(공역), name(이름)으로 정의되는 대상이다. 어느 arrow의 domain이 $x$, codomain이 $y$, name이 $f$일때 이를 다음과 같이 표기한다.

$$x\stackrel{f}{\to }y$$

편의상 다음의 표기법을 함께 사용한다.

• $domf=x$
• $codomf=y$

필요한 경우 arrow의 name은 생략하고 표기할 수 있다.

First-order Logic의 표기

일반적으로 일차논리에서 문장의 연언(and)는 $\wedge$으로 선언(or)은 $\vee$로 적는다. 이곳에서는 편의를 위해 $,$로 문장을 잇는 것으로 연언을 표기하고, $or$이나 $\vee$등으로 선언을 표기한다. 또한 조건언은 $\to$로 표기한다.

$$P\wedge Q\leftrightarrow P,Q$$

한편 일차논리에서는 $\forall x\in X.Px$와 같이 전칭양화사를 사용한다. 그러나 이곳에서는 논리적 맥락 하에서 그 변수의 범위(bound)가 분명할 때 전칭양화사를 생략한다. 따라서 다음의 두 표기가 동치인 것으로 생각한다.

$$\forall x\in X.Px\iff x\in X\to Px$$

존재 양화사는 하나의 술어로 취급하여 다음과 같이 표기한다.

$\exists x.Px\leftrightarrow \exists x,Px$

Arrow under Collection

Arrow의 collection $G$를 가정하자. 이제 다음과 같이 정의한다.

• $x{\Rightarrow }_{G}y=\{f|x\stackrel{f}{\to }y\in G\}$
• $(x{\Rightarrow }_G)=\{f|\exists y,x\stackrel{f}{\to }y\in G\}$
• $({\Rightarrow }_{G}y)=\{f|\exists x,x\stackrel{f}{\to }y\in G\}$
• $arrG=\{f|\exists x,\exists y,x\stackrel{f}{\to }y\in G\}$

이제 $X,Y$가 각각 domain과 codomain의 collection 이라고 하자. 그러면 다음과 같이 정의한다.

• $x{\Rightarrow }_{G}Y=\{f|y\in Y,x\stackrel{f}{\to }y\in G\}$
• $X{\Rightarrow }_{G}y=\{f|x\in X,x\stackrel{f}{\to }y\in G\}$
• $({\Rightarrow }_{G}Y)=\{f|\exists x,y\in Y,x\stackrel{f}{\to }y\in G\}$
• $(X{\Rightarrow }_G)=\{f|\exists y,x\in X,x\stackrel{f}{\to }y\in G\}$
• $X{\Rightarrow }_{G}Y=\{f|x\in X,y\in Y,x\stackrel{f}{\to }y\in G\}$

Arrow Bundle

만약 collection $F$에 대해 $F\subseteq x{\Rightarrow }_{G}y$ 라면 다음과 같이 적는다.

$$x{\stackrel{F}{\Rightarrow }}_{G}y$$

이러한 $F$를 arrow bundle이라고 한다.

Footnote

• Category theory의 formulation은 first-order logic을 사용한다.
• Category theory에서 collection은 가능한 모든 set의 collection과 같이 일상적인 집합론에서 벗어나는 대상을 포함한다. 따라서 이곳에서 사용되는 포함기호 $\in$은 집합론을 가정하지는 않는다.

References

(1) Brendan Fong, David I. Spivak, Seven Sketches in Compositionality
(2) Mac Lane, Categories for the Working Mathematicians