Change of Basis

Prerequisites: Basis and Coordinate

벡터 공간의 기저를 정하면 벡터를 좌표 벡터 공간에서 표시할 수 있다. 그렇다면 서로 다른 기저를 통해 얻는 두 좌표 간에는 어떤 관계가 있을까?

Linearity of Coordinate Mapping

먼저 coordinate mapping이 linear 한지 살펴보자. 체 $F$위에 정의된 벡터 공간 $V$의 기저 $\mathcal{B}=\{b_1,...,b_n\}$를 생각하자. 이때 벡터 $v\in V$에 대해 정의에 의해 다음이 성립한다.

$$\sum _i([v{]}_{\mathcal{B}}{)}_i{b}_i+\sum _i([w{]}_{\mathcal{B}}{)}_i{b}_i=v+w$$

이때 coordiante가 $F^n$에 속함으로 성분간의 덧셈을 가정하면,

$$\sum _i([v{]}_{\mathcal{B}}+[w{]}_{\mathcal{B}}{)}_i{b}_i=v+w$$

그런데 coordinate는 유일함으로 이 식은 $[v+w{]}_{\mathcal{B}}=[v{]}_{\mathcal{B}}+[w{]}_{\mathcal{B}}$ 임을 의미한다. 스칼라 곱에 대해서도 비슷하게 증명할 수 있으므로 coordinate mapping은 linear 하다.

Change of Basis

체 $F$위에 정의된 벡터 공간 $V$의 두 기저 $\mathcal{B}=\{b_1,...,b_n\},\mathcal{C}=\{c_1,...,c_n\}$를 생각하자. 그러면 벡터 $v\in V$에 대해 좌표 $[v{]}_{\mathcal{B}},[v{]}_{\mathcal{C}}$를 생각할 수 있으며 이들이 다음을 만족한다.

$$v=\sum _i([v{]}_{\mathcal{B}}{)}_i{b}_i=\sum _i([v{]}_{\mathcal{C}}{)}_i{c}_i$$

이때 linearity에 의해 다음이 성립한다.

$$[v{]}_{\mathcal{C}}=[\sum _i([v{]}_{\mathcal{B}}{)}_i{b}_i{]}_C=\sum _i([v{]}_{\mathcal{B}}{)}_i[b_i{]}_{\mathcal{C}}$$

이를 행렬로 적으면 다음과 같이 된다.

$$[v{]}_{\mathcal{C}}=([b_1{]}_{\mathcal{C}}[b_2{]}_{\mathcal{C}}\cdots [b_n{]}_{\mathcal{C}})[v{]}_{\mathcal{B}}$$

여기서 행렬 $([b_1{]}_{\mathcal{C}}[b_2{]}_{\mathcal{C}}\cdots [b_n{]}_{\mathcal{C}})$을 $\mathcal{B}$에서 $\mathcal{C}$로 가는 change-of-coordinate matrix 라고 하며 다음과 같이 적는다.

$$\underset{\mathcal{B}\to \mathcal{C}}{P}=([b_1{]}_{\mathcal{C}}[b_2{]}_{\mathcal{C}}\cdots [b_n{]}_{\mathcal{C}})$$

References

• David C. Lay, Linear Algebra and Its Applications (6th ed.), Pearson