Diagonalization

이곳에서는 벡터의 Change of Basis 개념을 통해 대각화에 대해 살펴본다.

1. Change of Basis

체 $F$위에 정의된 벡터공간 $V$가 기저 $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,...,{\mathbf{b}}_{\mathbf{r}}\}$를 가진다고 해 보자. 그렇다면 우리는 다음과 같이 $v\in V$를 $\mathcal{B}$의 선형조합으로 표현할 수 있다.

$$v=\sum _{i=1}^r{k}_i^{\mathcal{B}}{\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}(a_i\in F)$$

이때 $[k_1^{\mathcal{B}},...,k_r^{\mathcal{B}}{]}^T$를 $v$의 $\mathcal{B}$에 대한 좌표라고 부르고 아래와 같이 표기한다.

$$[v{]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{c}{k}_1^{\mathcal{B}}\\ ⋮\\ k_r^{\mathcal{B}}\end{array}\right]$$

이제 다른 기저 $\mathcal{C}=\{{\mathbf{c}}_1,{\mathbf{c}}_2,...,{\mathbf{c}}_{\mathbf{r}}\}$가 주어졌다고 해 보자. 그렇다면 $v$는 $\mathcal{C}$의 선형조합으로도 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$v=\sum _{i=1}^r{k}_i^{\mathcal{C}}{\mathbf{c}}_{\mathbf{i}}(b_i\in F)$$

다음과 같이 두 표현을 번역해 주는 함수 $T$를 생각해 보자. (흔히 이 함수는 $P$로 표기하는데, 여기서는 이후 대각화에서의 논의와 기호가 겹치기 때문에 $T$로 표기한다. 이 기호의 겹침은 다분히 의도적이라는 것을 곧 보게 될 것이다.)

$$\begin{array}{rl}T:F^r& \to F^r\\ T([v{]}_{\mathcal{B}})& =[v{]}_{\mathcal{C}}\end{array}$$

앞선 식을 행렬로 표현하기 위해 먼저 $B$, $C$를 다음과 같이 정의하자.

$$\begin{array}{rl}B& =\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{b}}_1& \cdots & {\mathbf{b}}_{\mathbf{r}}\end{array}\right]\\ C& =\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{c}}_1& \cdots & {\mathbf{c}}_{\mathbf{r}}\end{array}\right]\end{array}$$

이제 앞서서 본 좌표계의 정의는 다시 다음과 같이 적힌다.

$$\begin{array}{rl}[v{]}_{\mathcal{B}}& =B^{-1}v\\ [v{]}_{\mathcal{C}}& =C^{-1}v\end{array}$$

여기서 기저벡터들은 선형독립임으로 $B$, $C$의 가역성은 보장된다. 따라서 $P$는 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$T([v{]}_{\mathcal{B}})=C^{-1}B[v{]}_{\mathcal{B}}$$

이제 일반적으로 좌표의 기저를 바꾸는 $T_{\mathcal{B}\to \mathcal{C}}$는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$T_{\mathcal{B}\to \mathcal{C}}(A)=C^{-1}BA$$

선형변환이 행렬로 적힌다는 사실을 알고 있기 때문에 다음과 같은 약간의 기호적 편의성을 추구하기로 한다.

$$T_{\mathcal{B}\to \mathcal{C}}=C^{-1}B$$

2. Diagonalization

대각화는 정사각행렬에 대해 정의된다. 어떤 정사각행렬 $A\in {\mathbb{M}}_{n\times n}(F)$가 대각화 가능하다는 것은 다음과 같은 가역행렬 $P$와 대각행렬 $D$가 존재한다는 것을 의미한다.

$$A=PD{P}^{-1}$$

이 식의 의미를 해석해 보자. 먼저 $P$는 선형독립인 행으로 이루어져 있음으로 그 행들은 기저라고 생각할 수 있다. 즉 이 식은 다음과 같이 적힌다. 이때 $\mathcal{E}$는 표준기저이다.

$$A=PD{T}_{\mathcal{E}\to \mathcal{P}}$$

사실 이 방식으로 우리는 다음도 쓸 수 있다.

$$A=T_{\mathcal{P}\to \mathcal{E}}D{T}_{\mathcal{E}\to \mathcal{P}}$$

이때 $D$가 대각행렬이라는 의미는 이것이 스케일링 연산이라는 것이다. 결과적으로 우리는 $A=PD{P}^{-1}$로 적힌다는 것이 다음을 의미함을 알 수 있다.

어떤 벡터 $v$에 선형변환(혹은 행렬) $A$를 곱하는 것은 다음의 과정을 수행하는 것과 같다.

(1) $v$를 $\mathcal{P}$에 대한 좌표로 변환한다.
(2) $v$에 $D$만큼의 스케일링 연산을 한다.
(3) $v$를 $\mathcal{E}$에 대한 좌표로 되돌린다.

그렇다면 이러한 사실이 성립할 수 있는 경우는 언제일까? 그 조건을 우리는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\text{dim}\text{span}\{x|Ax=\lambda x,\lambda \in F\}=n$$

이 조건이 특성다항식의 근의 갯수와 같은 의미라는 것을 어렵지 않게 이해할 수 있다.

References

(1) David C. Lay, Linear Algebra and Its Applications (6th ed.), Pearson
(2) 이인석, 선형대수와 군 (개정판), 서울대학교출판부