Arrow Notation

Arrow

Arrow(화살표)는 domain(정의역), codomain(공역), name(이름)으로 정의되는 대상이다. 어느 arrow의 domain이 $x$, codomain이 $y$, name이 $f$일때 이를 다음과 같이 표기한다.

$$x\stackrel{f}{\to }y$$

편의상 다음의 표기법을 함께 사용한다.

• $domf=x$
• $codomf=y$

필요한 경우 arrow의 name은 생략하고 표기할 수 있다.

Arrow under Collection

Arrow의 collection $G$를 가정하자. 이제 다음과 같이 정의한다.

• $x{\Rightarrow }_{G}y=\{f|x\stackrel{f}{\to }y\in G\}$
• $(x{\Rightarrow }_G)=\{f|\exists y,x\stackrel{f}{\to }y\in G\}$
• $({\Rightarrow }_{G}y)=\{f|\exists x,x\stackrel{f}{\to }y\in G\}$
• $arrG=\{f|\exists x,\exists y,x\stackrel{f}{\to }y\in G\}$

이제 $X,Y$가 각각 domain과 codomain의 collection 이라고 하자. 그러면 다음과 같이 정의한다.

• $x{\Rightarrow }_{G}Y=\{f|y\in Y,x\stackrel{f}{\to }y\in G\}$
• $X{\Rightarrow }_{G}y=\{f|x\in X,x\stackrel{f}{\to }y\in G\}$
• $({\Rightarrow }_{G}Y)=\{f|\exists x,y\in Y,x\stackrel{f}{\to }y\in G\}$
• $(X{\Rightarrow }_G)=\{f|\exists y,x\in X,x\stackrel{f}{\to }y\in G\}$
• $X{\Rightarrow }_{G}Y=\{f|x\in X,y\in Y,x\stackrel{f}{\to }y\in G\}$

Arrow Bundle

만약 collection $F$에 대해 $F\subseteq x{\Rightarrow }_{G}y$ 라면 다음과 같이 적는다.

$$x{\stackrel{F}{\Rightarrow }}_{G}y$$

이러한 $F$를 arrow bundle이라고 한다.

Footnote

• Category theory의 formulation은 first-order logic을 사용한다.
• Category theory에서 collection은 가능한 모든 set의 collection과 같이 일상적인 집합론에서 벗어나는 대상을 포함한다. 따라서 이곳에서 사용되는 포함기호 $\in$은 집합론을 가정하지는 않는다.

References

(1) Brendan Fong, David I. Spivak, Seven Sketches in Compositionality
(2) Mac Lane, Categories for the Working Mathematicians