Impulse Response와 Convolution

Prerequisites: LTI System

Impulse response는 시스템의 특성을 파악하는 데 있어 중요한 도구로서 작용한다. 여기서는 impulse response 및 그것과 convolution의 관계를 알아본다.

Impulse Response

Impulse는 짧은 시간동안 높은 값이 발생하는 신호로 디렉-델타 함수 $\delta$를 통해 모델링할 수 있다. 이때 $\delta$는 다음을 만족하는 임의의 함수이다.

$${\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)\delta (t)dt=x(0)$$

Impulse response는 시스템에 impulse를 입력했을 때의 출력을 의미한다. 즉, 시스템의 impulse response $h(t)$는 다음과 같이 적을 수 있다.

$$h=H\delta$$

Impulse의 합을 통한 신호의 표현

임의의 신호 $x(t)$는 다음과 같이 지연된 impulse의 합으로 표현할 수 있다.

$$x(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(\tau )T_t\delta (\tau )d\tau$$

왜냐하면

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{\infty }x(\tau )T_{\tau }\delta (t)d\tau & ={\int }_{-\infty }^{\infty }x(\tau )\delta (\tau -t)d\tau \\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }x(u+t)\delta (u)du(u=\tau -t)\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }{T}_{-t}x(u)\delta (u)du\\ & =T_{-t}x(0)=x(0+t)=x(t)\end{array}$$

과 같기 때문이다. 한편

$$T_t\delta (\tau )=\delta (\tau -t)=\delta (t-\tau )=T_{\tau }\delta (t)$$

이므로 위 식은

$$x(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(\tau )T_t\delta (\tau )d\tau ={\int }_{-\infty }^{\infty }x(\tau )T_{\tau }\delta (t)d\tau$$

와 같이 적을 수 있다. 이때 두 번째 식의 의미를 조금 더 자세히 살펴보자.
우리는 이 식을 다음과 같이 근사할 수 있다.

$${\int }_{-\infty }^{\infty }x(\tau )T_{\tau }\delta (t)d\tau \approx \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n\Delta )T_{n\Delta }\delta (t)\Delta$$

이때 $t=k\Delta$라고 하자. 또한 $\delta (t)$를 다음과 같이 근사하자.

$$\delta (t)=\{\begin{array}{ll}1/\Delta & \text{if }t=0\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$$

그러면 우리는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\begin{array}{rl}& \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n\Delta )T_{n\Delta }\delta (t)\Delta \\ & =\cdots +x((k-1)\Delta )T_{(k-1)\Delta }\delta (t)\Delta +x(k\Delta )T_{k\Delta }\delta (t)\Delta +x((k+1)\Delta )T_{(k+1)\Delta }\delta (t)\Delta +\cdots \\ & =\cdots +x((k-1)\Delta )T_{(k-1)\Delta }\delta (k\Delta )\Delta +x(k\Delta )T_{k\Delta }\delta (k\Delta )\Delta +x((k+1)\Delta )T_{(k+1)\Delta }\delta (k\Delta )\Delta +\cdots \\ & =\cdots +0+x(k\Delta )\cdot 1+0+\cdots \\ & =x(k\Delta )=x(t)\end{array}$$

이처럼 이 식을 $t$에서 evaluation 하면 나머지 부분의 값이 모두 0이 되어 $x(t)$가 남게 된다. 이는 $x(t)$가 impulse의 합으로 표현될 수 있음을 의미한다.

이 식을 아래와 같은 형태로 자주 적게 될 것이다.

$$x={\int }_{-\infty }^{\infty }x(\tau )T_{\tau }\delta d\tau$$

LTI Systems의 Impulse Response

LTI 시스템의 확장된 시불변성을 이용하면 출력되는 신호를 impulse response의 합으로 표현할 수 있다.
$y=Hx$ 이고 $h=H\delta$ 라고 하자. 이제,

$$\begin{array}{rl}y=Hx& =H{\int }_{-\infty }^{\infty }x(\tau )T_{\tau }\delta d\tau \\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }x(\tau )H{T}_{\tau }\delta d\tau \\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }x(\tau )T_{\tau }H\delta d\tau \\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }x(\tau )T_{\tau }hd\tau \end{array}$$

와 같음으로 정리하면 다음이 성립한다.

$$y={\int }_{-\infty }^{\infty }x(\tau )T_{\tau }hd\tau$$

Convolution

두 신호 $x,h$의 convolution은 다음과 같이 정의된다.

$$(x\ast h)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(\tau )T_{\tau }hd\tau$$

따라서 신호의 표현은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$x=x\ast \delta$$

또한 LTI 시스템 $H$의 출력은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$y=Hx=H(x\ast \delta )=x\ast H(\delta )=x\ast h$$

References

(1) Oppenheim et al, Signals and Systems (Second Edition), Pearson