LTI System

신호 분석의 기초가 되는 LTI 시스템과 그 특성을 살펴보자.

신호와 시스템

신호는 보통 시간에 대한 어떤 값으로 이해된다. 따라서 실수 범위의 모든 신호의 집합은 단순히 ${\mathbb{R}}^{\mathbb{R}}$이다. (참고로, $Y^X=\{f:X\to Y\}$) 이하에서 우리는 이러한 실수 범위의 신호를 주로 다룬다.

이제 신호에 대한 시스템이란 신호에서 다른 신호로 가는 함수이다. 따라서 우리는 어떤 시스템 $H$는 다음과 같다고 할 수 있다.

$$H:{\mathbb{R}}^{\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}^{\mathbb{R}}$$

그러므로 신호와 시스템을 정확하게 표기한다면 우리는 통상적으로 쓰이는

$$H(x(t))=y(t)$$

와 같은 표기가 아니라

$$H(x)(t)=y(t)$$

와 같이 표기해야 한다. 이는 $H$가 함수 $x$를 받아 함수 $y$를 출력하는 함수라는 것을 명확히 하기 위함이다.

이 글에서는 이와 같은 명확한 표기를 채용하되, 괄호가 너무 많이 쓰이는 것을 방지하기 위해 다음과 같이 시스템이 신호에 적용되는 경우에 한하여 괄호를 때때로 생략할 것이다.

$$H(x)(t)=Hx(t)=y(t)$$

또한 우리는 다음과 같은 표현을 자연스럽게 사용한다.

$$Hx=y$$

이는 함수를 값으로 취급하는 선형대수학의 관점에서 자연스러운 표현이다.

Delay

어떤 신호가 $k$초 만큼 delay된다는 것은 그 신호가 본래 신호에 비해 $k$초 뒤에 발생한다는 것을 의미한다. 이를 식으로 표기하면 다음과 같다.

$$T_{k}x(t)=x(t-k)$$

우리는 앞으로도 $T_k$를 delay operator로 사용한다.

LTI 시스템의 정의

LTI(Linear Time-Invariant) 시스템은 다음과 같은 두 성질을 만족하는 시스템을 말한다.

선형성(Linear)

$$\begin{array}{rl}H(ax+by)& =aHx+bHy\end{array}$$

시불변성(Time-Invariant)

$$H{T}_{k}x=T_{k}Hx$$

이때 LTI 시스템의 시불변성에는 적분에 대한 보다 확장된 정의가 주로 사용된다. 이는 다음과 같다.

확장된 시불변성(Extended Time-Invariant)

$$H({\int }_{[a,b]}g(\tau )T_{\tau }xd\tau )={\int }_{[a,b]}g(\tau )T_{\tau }Hxd\tau ([a,b]\subseteq \mathbb{R})$$

확장된 시불변성

확장된 시불변성을 이해하기 위해 적분의 정의를 생각해 보자. 우리는 좌변의 식으로부터 다음의 근사를 생각할 수 있다.

$$\begin{array}{rl}H({\int }_{[a,b]}g(\tau )T_{\tau }xd\tau )& =H(\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{n}g({\tau }_i)T_{{\tau }_i}x\Delta {\tau }_i)\\ & \approx \underset{n\to \infty }{\lim }H(\sum _{i=1}^{n}g({\tau }_i)T_{{\tau }_i}x\Delta {\tau }_i)\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{n}g({\tau }_i)T_{{\tau }_i}Hx\Delta {\tau }_i\\ & ={\int }_{[a,b]}g(\tau )T_{\tau }Hxd\tau \end{array}$$

이것이 “확장된” 것이라는 의미는 위의 계산 과정에서 발생한 근사를 허용한다는 의미이다.

References

(1) Oppenheim et al., Signals and Systems (Second Edition), Pearson