Random Variable

Random Variable의 정의

Random variable은 다음과 같이 정의된다.

Definition. Random Variable
Sample space가 $S$로 주어질 때 random variable $X$는 $S$에서 $\mathbb{R}$로 가는 함수이다. 이때 집합 $A\subseteq \mathbb{R}$에 대하여 다음과 같이 표기한다. ($X(S)$는 $X$의 image이다.)

$$P(X\in A)=P(\{s\in S|X(s)\in A\})$$

만약 어떤 일차술어 $U$가 존재하여 $X\in A\leftrightarrow U(X)$라면 다음과 같이 표기한다.

$$P(U(X))=P(X\in A)$$

Random variable에는 대표적으로 두 가지 종류가 있다.

Definition. Discrete Random Variable and Continuous Random Variable
Random variable $X:S\to \mathbb{R}$에 대해 $|X(S)|\le |\mathbb{N}|$이면 $X$를 discrete random variable이라고 한다. 한편 이하에서 정의되는 확률밀도함수가 존재하면 $X$를 continuous random variable이라고 한다.

$X$가 discrete random variable일 때 함수 $p$가 다음과 같이 정의되면 이를 $X$의 확률질량함수라고 한다.

$$p(x)=P(X=x)$$

$X$가 continuous random variable일 때 함수 $f$가 다음과 같이 정의되면 이를 $X$의 확률밀도함수라고 한다.

$${\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt=P(X\le x)$$

확률질량함수와 확률밀도함수를 통틀어 확률분포라고 한다. 만약 $X$가 확률분포 $h$를 가지면 $X\sim h$라고 적고 $X$가 확률분포 $h$를 따른다고 한다.

Conditional Probability & Random Variables

Definition. Conditional Probability & Random Variables
확률변수 $X,Y:S\to \mathbb{R}$와 집합 $A,B\subseteq \mathbb{R}$에 대하여 conditional probability는 다음과 같이 정의된다.

$$P(Y\in B|X\in A)=\frac{P(X\in A,Y\in B)}{P(X\in A)}(P(X\in A)>0)$$

만약 어떤 일차술어 $U,W$가 존재하여 $X\in A\leftrightarrow U(X),Y\in B\leftrightarrow W(Y)$라면 다음과 같이 표기한다.

$$P(W(Y)|U(X))=P(Y\in B|X\in A)$$

Example

확률변수 $X,Y,Z$에 대해서 $Z=X+Y$가 성립한다고 하자. 그러면 $P(X=x)>0$일 때 조건부 확률은 다음과 같이 주어진다.

$$P(Z=z|X=x)=\frac{P(Z=z,X=x)}{P(X=x)}=\frac{P(X+Y=z,X=x)}{P(X=x)}=\frac{P(x+Y=z,X=x)}{P(X=x)}$$

이때 $X,Y$가 독립이라면 다음과 같이 된다.

$$\frac{P(x+Y=z,X=x)}{P(X=x)}=\frac{P(x+Y=z)P(X=x)}{P(X=x)}=P(x+Y=z)$$

Footnote

• 보다 일반적인 정의에서 연속확률변수는 연속적인 cumulative distribution function에 의해 정의된다.

References

(1) Casella & Berger, Statistical Inference