Array over Field

Array는 덧셈과 스칼라 곱셈이 정의되는 인덱스된 수의 나열이다.

Definition. Array
어느 체 $F$ 위에 정의되는 $m$ order $(n_1,...,n_m)$ dimensional array ${\text{Arr}}_{n_1,...,n_m}(F)$는 다음과 같이 정의된다.

$${\text{Arr}}_{n_1,...,n_m}(F)=\{a|a:[n_1]\times [n_2]\times \cdots \times [n_m]\to F\}$$

이때 $n_i\in N\cup \{\infty \}$ 이며 $[n]=\{1,2,...,n\}$ 이다. 또한 array 간의 덧셈과 스칼라 곱셈이 이하로 정의된다.

(덧셈) $a,b\in {\text{Arr}}_{n_1,...,n_m}(F)$ 라고 할 때 각 $i_1,...,i_m$에 대해 다음과 같이 정의한다.

$$(a+b{)}_{i_1,...,i_m}=a_{i_1,...,i_m}+b_{i_1,...,i_m}$$

(스칼라 곱셈) $k\in F,a\in {\text{Arr}}_{n_1,...,n_m}(F)$라고 할 때 각 $i_1,...,i_m$에 대해 다음과 같이 정의한다.

$$(ka{)}_{i_1,...,i_m}=k{a}_{i_1,...,i_m}$$