Taylor Series

Motivation

임의의 함수 $f$를 이해하는 방법 중 하나는 이 함수를 다항함수로 표현하는 것이다. 어떤 경우에 $f$는 유한한 항으로 표현될 수 있지만 대부분의 경우에는 그렇지 않다. 따라서 우리는 $f$를 다항함수로 표현하는 방법과 그때 발생하는 오차에 대해 살펴보아야 한다.

Single-variable Case

어느 지점 $a\in \mathbb{R}$에서 $N$번 미분가능한 함수 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$을 생각하자. 그러면 다음과 같은 함수 $R:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$을 정의할 수 있다.

$$f(x)=\sum _{n=0}^N\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n+R(x)$$

이때 $R$은 다항근사의 오차항이다. 이때 다음이 성립한다는 것이 알려져 있는데, 이를 테일러 정리(Taylor’s theorem)라고 한다.

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{R(x)}{(x-a{)}^N}=0$$

Multi-variable Case

다변수 함수의 경우 식이 다소 복잡하므로 여기서는 이차항까지만 살펴본다.

어느 지점 $a\in {\mathbb{R}}^n$에서 $N$번 미분가능한 함수 $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$을 생각하자. 그러면 다음과 같은 함수 $R:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$을 정의할 수 있다.

$$f(x)=f(a)+\nabla f(a{)}^T(x-a)+\frac{1}{2!}(x-a{)}^T{\nabla }^{2}f(a)(x-a)+R(x)$$

이때 $R$은 다음을 만족한다.

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{R(x)}{||x-a|{|}^2}=0$$

References

• Wikipedia, Taylor series (https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series)
• Wikipedia, Taylor’s theorem (https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor’s_theorem)