Taylor Approximation의 이해
임의의 함수 가 주어질 때 우리는 이 함수를 어떻게 이해해야 할까? 만약 이 함수를 우리가 잘 아는 다른 함수로 근사할 수 있다면 이 함수의 성질을 어느 정도 파악할 수 있지 않을까? Taylor approximation (테일러 근사)는 이와 같이 대부분의 함수를 다함함수로 근사하여 그 함수에 대한 이해를 돕는 기법이다. 보다 구체적으로 테일러 근사는 번 미분가능한 함수를 차 다항식으로 작은 오차와 함께 근사한다.
Theorem. 테일러 정리
번 미분가능한 함수 에 대해 다음이 성립한다.
이때 다음을 의 차 테일러 근사라고 한다.
여기서 는 다음과 같이 정의된다.
Definition. Little-o Notation
즉, 차 테일러 근사의 오차항은 근처에서 보다 빠르게 줄어든다. 테일러 정리에 대한 증명은 여러 미적분학 교재에서 어렵지 않게 찾을 수 있다.
선형 근사(Linear Approximation)와 Tangent Space
테일러 근사를 통해 함수를 일차함수로 표현하는 것을 선형근사라고 한다. 일차함수의 선형성은 여러 계산을 편리하게 만들어 준다. 예를 들어 일차함수가 그리는 선은 피타고라스 정리를 통해 그 길이를 측정할 수 있다. 따라서 작은 선들을 합치면 곡선의 길이 역시 계산할 수 있다.
이제 보다 일반적인 논의를 생각해 보자. 어느 두 점 로 정의되는 도형을 고려하자. 정확히 말하면 이 도형은 의 간에 주어지는 어느 관계 를 만족하는 모든 점의 집합으로 정의된다. 도형이 미분가능한 경우 도형 위의 어느 점 에는 도형에 접하는 접평면이 존재한다. 이는 두 점 로 미분을 통해 정의되는 도형이다. 이 두 도형은 앞선 점에서 일치한다. 보다 다차원에서는 편미분으로 이를 정의한다.