Leibniz's Notation in Category Theory

Prerequisites: Basics of Leibniz’s Notation

Category of Variables

앞서서 우리는 라이프니츠 표기법에서 변수의 의미를 살펴보았다. 이는 카테고리를 통해 다시 정의할 수 있다. 어떤 변수의 카테고리(category of variables) $V$는 다음과 같이 구성된다.

Objects

$V$의 object는 $x_1,x_2,x_3,...$ 등의 변수이다. 각 변수는 어떤 집합에 의해 bound 되는데 이를 $x_i\in X_i$ 와 같이 대문자를 사용해 적는다.

Morphisms

$V$의 morphism은 두 변수 사이에 유일하게 정의되는 함수이다. 즉 $f\in x_i{\Rightarrow }_V{x}_j$ 는 $f\in X_i{\Rightarrow }_{\text{Set}}{X}_j$ 인 함수이며, $x_j=f(x_i)$가 성립한다. 두 변수 간의 morphism이 유일함으로 $x_j$에서 $x_j$로의 morphism을 $f_{ij}$ 와 같이 적는다.

Composition & Identity

$V$의 composition은 함수의 composition이다. 즉 다음과 같이 정의된다.

$$t\in X_i\to (f_{ij};f_{jk})(t)=f_{jk}(f_{ij}(t))$$

이때 두 변수 간의 morphism은 유일함으로 다음이 성립한다.

$$f_{ij};f_{jk}=f_{ik}$$

한편 $V$에서의 identity morphism은 identity function이다. 즉 다음과 같다.

$$t\in X_i\to i{d}_{x_i}(t)=f_{ii}(t)=t$$

Tangent Functor

Category of variables $V$의 morphism이 어느 점 $x^{\ast }=(x_1^{\ast },x_2^{\ast },...)$ 에서 미분가능하다고 하자. 이때 category of variables $V$에서 category of variables $W$로 가는 tangent functor $T_{x^{\ast }}\in V{\Rightarrow }_{\text{Cat}}W$ 를 정의할 수 있다.

Object Mapping

Tangent functor는 $V$의 각 variable을 $W$의 variable에 대응시킨다.

$$T_{x^{\ast }}(x_i)=d{x}_i$$

Morphism Mapping

Tangent functor는 $V$의 각 morphism을 $W$의 각 morphism으로 대응시킨다.

$$T_{x^{\ast }}(f_{ij})=g_{ij}wheret\in X_i\to g_{ij}(t)=f_{ij}^{\prime }(x_i^{\ast })\cdot t$$

Functor Propterties

이제 tangent functor가 identity와 composition을 보존하는지 살펴보자.

(Identity)

$$T_{x^{\ast }}(i{d}_{x_i})(t)=i{d}_{x_i}^{\prime }(x_i^{\ast })\cdot t=1\cdot t=t$$

따라서 identity를 identity function으로 mapping 함으로 identity를 보존한다.

(Composition)

$$(T_{x^{\ast }}(f_{ij};f_{jk}))(t)=(T_{x^{\ast }}(f_{ik}))(t)=f_{ik}^{\prime }(x_i^{\ast })\cdot t$$ $$(T_{x^{\ast }}(f_{ij});T_{x^{\ast }}(f_{jk}))(t)=f_{jk}^{\prime }(x_j^{\ast })\cdot f_{ij}^{\prime }(x_i^{\ast })\cdot t=f_{jk}^{\prime }(f_{ij}(x_i^{\ast }))\cdot f_{ij}^{\prime }(x_i^{\ast })\cdot t=f_{ik}^{\prime }(x_i^{\ast })\cdot t(\because \text{chain rule})$$

두 식이 같음으로 tangent functor는 composition을 보존한다.

Useful Properties

이제 우리에게 잘 알려진 미분의 성질들을 $T_{x^{\ast }}V$ 에서 다음과 같이 적을 수 있다.

$${\frac{dy}{dx}|}_{x:=x^{\ast }}=f_{xy}^{\prime }(x^{\ast })$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$$ $$\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx}$$

In case of Higher Dimensions

보다 다차원 공간에서 우리는 $f_{ij}^{\prime }(x_i^{\ast })$ 대신 Jacobian matrix를 사용하는 것으로 위의 논의를 일반화할 수 있다.

Conclusion

Category of variables에 tangent functor를 적용하면 미소 변수들에 대한 직관적인 이해를 얻는다.

Footnote

• Category에 대한 논의는 Category 를 참고하라.
• 미분기하학에서 다루는 미분 형식(differential form)은 본 글에서 논의한 미소 변수 공간(tangent space)의 쌍대 공간(dual space)으로 정의된다.

References

(1) David Bachman, A Geometric Approach to Differential Forms