Differential Form

Prerequisites: Big-O Like Notations

이 글에서는 미분형식(differential form)을 작은 조각에 값을 매기는 측정 장치로 이해하고, 그 위에서 정의되는 exterior derivative와 wedge product를 살펴본다.

Integral and Differential Form

Differential form은 우리가 아는 적분을 일반화한 것이다. 보통 적분은 다음 순서로 수행한다.

1. 적분할 도형을 작은 사각형으로 분할하고, 각 사각형에 넓이, 유량, 질량 등의 값을 부여한다.
2. 도형이 구부러져 있다면 부여한 값의 일차근사를 사용한다. 각 조각의 오차가 조각의 위치와 무관하게 조각의 크기보다 빠르게 작아지므로, 조각을 잘게 나눌수록 오차를 모두 더해도 그 합은 0으로 수렴하기 때문이다.
3. 각 사각형에 주어진 값을 모두 더하고, 분할을 한없이 잘게 할 때의 극한을 구한다. 이것이 적분이다.

이 과정은 다음과 같이 일반화할 수 있다.

1. 적분할 $n$차원 도형을 작은 $n$차원 평행체(parallelotope; 2차원에서는 평행사변형, 3차원에서는 평행육면체)로 분할한다. 평행체는 한 꼭짓점 $p$에서 뻗어 나가는 변 벡터 $n$개 $v_1,\dots ,v_n$으로 결정된다. 각 평행체에 실수를 대응시키는 함수 ${\omega }_p(v_1,\dots ,v_n)$를 differential $n$-form이라고 한다.
2. 도형이 구부러져 있다면 평행체의 변이 직선이 아니게 된다. 따라서 이때는 각 점 $p$의 접공간(tangent space) $T_{p}M$ 안의 평행체를 생각한다. 이것은 위의 일차근사와 같은 발상으로, 구부러진 조각을 그 점에서 가장 잘 근사하는 평평한 조각으로 바꾸는 것이다.
3. 각 평행체에 주어진 값을 모두 더하고 극한을 구한다. 이것이 적분이다.

${\omega }_p$가 “조각에 값을 매기는 함수”로서 자연스러우려면 다음 두 성질을 만족해야 한다.

• 다중선형성(multilinearity). 각 변 벡터에 대해 선형이다. 예를 들어 한 변을 두 배로 늘리면 값도 두 배가 되고, 평행체를 한 변을 따라 둘로 자르면 두 조각의 값의 합이 원래 값과 같다. 즉 적분의 가법성을 일차근사 수준에서 표현한 것이다.
• 교대성(alternating). 두 변의 순서를 바꾸면 부호가 바뀐다. 변의 순서는 평행체의 방향(orientation)을 나타내므로, 방향이 반대인 조각에는 반대 부호의 값이 매겨진다. 특히 두 변이 같으면 평행체가 납작해지므로 값이 0이다.

정리하면, $n$차원 다양체 $M$ 위의 $n$-form $\omega$는 각 점 $p$마다 교대 다중선형 함수

$${\omega }_p:\underset{n\text{ times}}{\underbrace{T_{p}M\times \cdots \times T_{p}M}}\to \mathbb{R}$$

를 하나씩 대응시킨 것이고, 그 적분은 다음과 같이 생각할 수 있다.

$${\int }_M\omega =\underset{|P|\to 0}{\lim }\sum _{p\in P}{\omega }_p(v_1^p,\dots ,v_n^p)$$

여기서 $P$는 $M$을 분할한 각 조각의 기준점들의 집합이고, $v_1^p,\dots ,v_n^p$은 점 $p$에 놓인 조각을 근사하는 평행체의 변이며, $|P|$는 조각 크기의 최댓값이다. 변들은 $M$ 위가 아니라 접공간 $T_{p}M$ 안에 있다는 점, 그리고 변의 순서는 $M$의 방향과 일치하도록 정한다는 점에 주의하자. 복잡해 보이지만, 결국 도형 위의 작은 조각들에 숫자를 부여하고 그것들을 합치는 연산을 기술한 것에 지나지 않는다.

이처럼 $k$-form ${\omega }_p(v_1,\dots ,v_k)$는 두 가지를 입력으로 받는다. 하나는 조각이 어디에 있는지를 나타내는 점 $p$(아래첨자)이고, 다른 하나는 조각의 모양을 나타내는 변 $v_1,\dots ,v_k$(괄호 안)이다. 만약 $k=0$인 경우에 $\omega$는 오직 조각의 위치만을 입력받고 변을 입력받지 않는다. 물론 우리는 이것이 0차원 평행체인 점에 대해 값을 부여하는 함수인 것으로 생각할 수 있다. 이하에서 별다른 언급이 없으면 실숫값 함수 $f$는 0-form을 의미하는 것으로 생각하고 $f_p=f(p)$로 표기한다.

Definition of Exterior Derivative

$k$-form $\omega$에 exterior derivative를 취하면 $(k+1)$-form $d\omega$를 얻는다. $d\omega$를 이해하기 위해, $(k+1)$차원 평행체의 각 경계면이 $k$차원 평행체라는 사실을 생각해 보자. 그러면 우리는 $(k+1)$차원 평행체의 각 면에 $\omega$를 통해 값을 대응시킬 수 있다. $d\omega$는 이러한 값을 유도된 방향(induced orientation)에 따라 더한 것의 일차근사로 정의된다. 유도된 방향은 2차원에서는 경계를 반시계 방향으로 도는 것이고, 일반적으로는 바깥을 향하는 법선 벡터를 맨 앞에 붙였을 때 원래 평행체의 방향과 일치하도록 정한 것이다. 이 방향 덕분에 서로 마주 보는 면은 반대 부호로 더해진다.

구체적으로, 점 $p$에서 변 $u_1,\dots ,u_{k+1}$로 만든 평행체를 생각하자. $u_i$를 뺀 나머지 $k$개의 변이 만드는 면은 $p$와 $p+u_i$에 하나씩, 서로 마주 보며 놓여 있다. 각 면에서는 그 면이 놓인 위치에서 $\omega$를 계산해야 한다. 마주 보는 두 면은 유도된 방향이 반대이므로, 그 둘의 기여는 ${\omega }_{p+u_i}$와 ${\omega }_p$의 차이로 묶인다. $U={\max }_i\Vert u_i\Vert$라 하면 정의는 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^{k+1}& {\sigma }_i({\omega }_{p+u_i}(u_1,\dots ,u_{i-1},u_{i+1},\dots ,u_{k+1})-{\omega }_p(u_1,\dots ,u_{i-1},u_{i+1},\dots ,u_{k+1}))\\ & =d{\omega }_p(u_1,\dots ,u_{k+1})+\underset{U\to 0}{o}(U^{k+1})\end{array}$$

여기서 ${\sigma }_i$는 유도된 방향에서 오는 부호이다.

일차근사를 취하는 이유는 $d\omega$ 자체가 위치에 따라 변하는 효과를 제거하기 위해서다. 좌변은 평행체 전체에 걸친 양이므로, 평행체 안에서 $d\omega$가 변하는 만큼의 고차항을 포함한다. 일차근사, 즉 각 변 $u_i$에 대해 선형인 부분만 남기면 점 $p$ 하나에서의 값 $d{\omega }_p$를 얻는다. 이는 앞에서 ${\omega }_p(v_1,\dots ,v_n)$을 ${\int }_P\omega$의 일차근사로 삼은 것과 같은 이유로 어차피 적분하면 $0$으로 수렴하기 때문이다.

앞선 식은 변을 $u_i=\epsilon v_i$로 놓고 양변을 ${\epsilon }^{k+1}$로 나누면 극한으로도 쓸 수 있다. 변 $\epsilon v_1,\dots ,\epsilon v_{k+1}$로 만든 평행체를 $P_{\epsilon }$이라 하면

$$d{\omega }_p(v_1,\dots ,v_{k+1})=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{1}{{\epsilon }^{k+1}}{\int }_{\partial P_{\epsilon }}\omega$$

이다. 이렇게 보면 $d\omega$의 정의는 곧 “아주 작은 평행체 $P$에서 ${\int }_{P}d\omega \approx {\int }_{\partial P}\omega$가 일차근사 수준에서 성립한다”는 말이다. Generalized Stokes’ Theorem은 이것을 이어 붙인 것이다.

Notation regarding Differential 0-Form

어느 1-form $\omega$가 0-form $f$와 1-form $\alpha$에 대해 다음과 같이 정의된다고 해 보자.

$$\omega =f\alpha$$

그러면 $\omega$를 점 $p$와 벡터 $v$에 대해 계산한 값은 다음과 같이 주어진다.

$${\omega }_p(v)=f_p{\alpha }_p(v)=f(p){\alpha }_p(v)$$

이와 같이 0-form이 식에 포함되어 있으면 점 $p$에 대해 계산해야 함에 유의하자.

Coordinate Function and Its Differential

좌표 $x^i$는 각 점에 그 좌표값을 대응시키는 함수로 정의된다. 예를 들어 ${\mathbb{R}}^3$에서 $x(p)$는 점 $p$의 $x$좌표이다. 함수는 0-form으로 취급되므로, 앞의 정의에 따라 exterior derivative $d{x}^i$를 취할 수 있다.

$k=0$이면 평행체는 점 $p$에서 변 $v$로 만든 선분 $[p,p+v]$이고, 그 경계는 끝점 $p+v$와 시작점 $p$이며 유도된 방향은 각각 $+$, $-$이다. 따라서 정의의 좌변은

$$x^i(p+v)-x^i(p)=v^i$$

이다. 좌변이 이미 $v$에 대해 선형이므로 오차항 없이 다음을 얻는다.

$$d{x}_p^i(v)=v^i$$

즉 $d{x}^i$는 벡터 $v$에 그 $i$번째 성분 $v^i$를 대응시키는 1-form이다. 예를 들어 ${\mathbb{R}}^3$에서 $dx(v)=v_x$이다. $d{x}_p^i$는 점 $p$에 의존하지 않는다.

예시: $df=f^{\prime }$

실수선 위의 함수 $f$에 대해 정의의 좌변은

$$f(p+v)-f(p)=f^{\prime }(p)v+\underset{v\to 0}{o}(v)$$

이다. 일차근사 부분을 읽으면 $d{f}_p(v)=f^{\prime }(p)v$이고, $dx(v)=v$이므로

$$df=f^{\prime }dx$$

이다. 즉 $df$는 미분계수 $f^{\prime }$ 그 자체이고, 위 식은 도함수의 정의를 그대로 옮긴 것이다. 여기서 걷어낸 $o_{v\to 0}(v)$는 선분 위에서 $f^{\prime }$이 변하는 효과이다.

이를 ${\mathbb{R}}^n$으로 확장하면 $d{f}_p(v)$는 $v$ 방향의 방향도함수이고, 다음이 성립한다. 좌표 함수 $x^i$에 적용하면 앞에서 본 $d{x}^i$를 얻는다.

$$df=\sum _i\frac{\partial f}{\partial x^i}d{x}^i$$

Wedge Product

1-form 두 개 $\alpha ,\beta$로 2-form을 만드는 연산이 쐐기곱(wedge product)이다. 쐐기곱은 각 점 $p$에서 따로 계산한다.

$$(\alpha \wedge \beta {)}_p(u,v)={\alpha }_p(u){\beta }_p(v)-{\alpha }_p(v){\beta }_p(u)=\det \left(\begin{array}{ccc}{\alpha }_p(u)& {\alpha }_p(v){\beta }_p(u)& {\beta }_p(v)\end{array}\right)$$

기하학적으로 이는 $(\alpha (\cdot ),\beta (\cdot ))$를 좌표로 삼아 평행사변형을 평면에 투영했을 때 생기는 그림자의 부호 있는 넓이이다. 예를 들어 $(dx\wedge dy)(u,v)$는 $u,v$가 만드는 평행사변형을 $xy$평면에 투영한 넓이이다. 일반적으로 1-form $k$개의 쐐기곱은 $k\times k$ 행렬식으로 주어진다. 단순히 곱하지 않고 반대칭화하는 이유는 교대성을 만족시키기 위해서다.

${\mathbb{R}}^n$에서 모든 $k$-form은 $d{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{i_k}$들에 함수 계수를 곱해 더한 꼴로 쓸 수 있다. 예를 들어 ${\mathbb{R}}^3$의 2-form은 다음 꼴이다.

$$\omega =Pdy\wedge dz+Qdz\wedge dx+Rdx\wedge dy$$

Properties of Exterior Derivative

예시: $d(xdy)=dx\wedge dy$

${\mathbb{R}}^2$에서 $\omega =xdy$, 즉 ${\omega }_q(v)=x(q)v_y$를 생각하자. ($v_y$는 $v$의 $y$ 성분이다.) 점 $p$에서 변 $u_1=(a_1,b_1)$, $u_2=(a_2,b_2)$로 만든 평행사변형을 잡으면

$$({\omega }_{p+u}-{\omega }_p)(v)=(x(p+u)-x(p))v_y=u_x{v}_y$$

이므로, ${\sigma }_1=1$, ${\sigma }_2=-1$을 넣어 정의의 좌변을 계산하면

$$({\omega }_{p+u_1}-{\omega }_p)(u_2)-({\omega }_{p+u_2}-{\omega }_p)(u_1)=a_1{b}_2-a_2{b}_1=(dx\wedge dy)(u_1,u_2)$$

이다. 이 경우 좌변이 이미 각 변에 대해 선형이어서 오차항이 없고, 따라서 $d(xdy)=dx\wedge dy$이다. $u_1$ 방향으로 떨어진 두 변에서는 $x$ 값이 $a_1$만큼 달라 상쇄가 깨지고, $u_2$ 방향으로 떨어진 두 변에서는 $a_2$만큼 달라 상쇄가 깨진다. 그 차이가 평행사변형의 넓이로 남은 것이다.

일반 공식

같은 계산을 일반화하면 다음을 얻는다.

$$d\left(fd{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{i_k}\right)=df\wedge d{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{i_k}$$

예를 들어 $d(xdy)=dx\wedge dy$로, 위의 예시와 일치한다. 또 ${\mathbb{R}}^2$에서 $\omega =Pdx+Qdy$이면 다음과 같다.

$$d\omega =\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dx\wedge dy$$

$d^2=0$

$d$를 두 번 적용하면 항상 0이다. 정의에 따르면 $dd\omega$는 경계의 경계를 $\omega$로 잰 것인데, 경계의 경계는 비어 있기 때문이다. 예를 들어 정육면체 표면의 각 모서리는 인접한 두 면에서 서로 반대 방향으로 한 번씩 등장해 상쇄된다. 이 사실은 벡터 미적분학의 $\nabla \times (\nabla f)=0$, $\nabla \cdot (\nabla \times F)=0$에 해당한다.